Test istotności dla wartości średniej populacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Testy dla średniej to grupa testów statystycznych, służących do wnioskowania o wartości średniej w populacji, z której pochodzi próba losowa.

Hipotezę zerową i alternatywną oznaczamy w następujący sposób:

  • H0: μ = μ0
Zakłada ona, że nieznana średnia w populacji μ jest równa średniej hipotetycznej μ0
  • H1: μ ≠ μ0 lub H1: μ > μ0 lub H1: μ < μ0
Jest ona zaprzeczeniem H0, występuje w trzech wersjach w zależności od sformułowania badanego problemu.

Sprawdzianem hipotezy jest statystyka testowa, która jest funkcją wyników próby losowej. Postać funkcji testowej (tzw.statystyki) zależy od trzech okoliczności:

Biorąc pod uwagę powyższe okoliczności, założoną przez nas hipotezę możemy sprawdzić za pomocą trzech testów:

Znane odchylenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m,σ) o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby n jest dowolna, wtedy statystyka ma postać:

gdzie: m - średnia z próby

Jeżeli H0 jest prawdziwa, to statystyka testowa Z ma rozkład asymptotycznie normalny.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako z. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu zα, którą możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, uwzględniając poziom istotności α. Decyzję o odrzuceniu H0 podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H0.

Nieznane odchylenie, duża próba[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozkład populacji jest dowolny, o nieznanej średniej μ i nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby jest duża (np. n>30), wtedy statystyka ma postać:

gdzie: m - średnia z próby, S - odchylenie standardowe z próby

Jeżeli H0 jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład asymptotycznie normalny.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako z. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu zα, którą możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, uwzględniając poziom istotności α. Decyzję o odrzuceniu H0 podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H0.

Nieznane odchylenie, mała próba[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozkład populacji jest normalny N(μ,σ), o nieznanej średniej μ i nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby jest mała (np. n<30), wtedy statystyka ma postać:

gdzie: m - średnia z próby, S - odchylenie standardowe z próby

Jeżeli H0 jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład t-Studenta o liczbie stopni swobody ν = n-1.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako t. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu tα, którą odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy założonym poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody ν = n-1. Decyzję o odrzuceniu H0 podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H0.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]