W FIS Cup zadebiutował w lipcu 2013 w Villach, zaś pierwsze punkty tego cyklu zdobył rok później w tej samej miejscowości, zajmując 6. miejsce[3]. W lutym 2016 wystąpił w zawodach Pucharu Kontynentalnego w Planicy, nie zdobywając punktów[4].
W sezonie 2016/2017 dwukrotnie zajmował 3. pozycję w konkursach FIS Cup. 28 stycznia 2017 dzięki zajęciu 17. miejsca zdobył pierwsze w karierze punkty Pucharu Kontynentalnego. W lutym wystartował na Zimowym Olimpijskim Festiwalu Młodzieży Europy 2017 w Erzurum. Zdobył tam złote medale w konkursach skoków narciarskich zarówno indywidualnie, w drużynie mężczyzn[5], jak i w zespole mieszanym[6].
Latem 2017 trzy razy wygrywał konkursy FIS Cup. 16 września zajął 3. miejsce w zawodach Letniego Pucharu Kontynentalnego w Trondheim, zaś dzień później na tej samej skoczni odniósł zwycięstwo. W kolejnych konkursach cyklu jeszcze dwukrotnie stawał na podium[7].
18 listopada 2017 zadebiutował w Pucharze Świata w zawodach drużynowych, zajmując 6. miejsce na skoczni w Wiśle[7]. Dzień później miał po raz pierwszy w karierze wystąpić w konkursie indywidualnym, ale przed oddaniem skoku został zdyskwalifikowany ze względu na nieregulaminowy kombinezon[8]. Ostatecznie indywidualnie zadebiutował w cyklu 2 grudnia w Niżnym Tagile, równocześnie zdobywając pierwsze punkty dzięki zajęciu 12. miejsca. W dalszej części sezonu regularnie występował w Pucharze Świata, najwyżej sklasyfikowanym będąc na 17. pozycji. Wystąpił na Zimowych Igrzyskach Olimpijskich 2018, gdzie zajął 33. miejsce na skoczni normalnej[7].
W lipcu i sierpniu 2018 trzykrotnie zajmował miejsca w pierwszej dziesiątce Letniego Grand Prix. Najwyżej klasyfikowany był w zawodach w Courchevel, na 4. miejscu[9].
W otwierających Puchar Świata 2018/2019 zawodach w Wiśle zajął 5. pozycję. W dalszej części sezonu w większości występów zajmował miejsca w najlepszej dziesiątce. 27 stycznia 2019 po raz pierwszy stanął na podium konkursu indywidualnego Pucharu Świata, zajmując w zawodach w Sapporo 2. miejsce[9]. W kolejnym konkursie cyklu, 1 lutego 2019 w Oberstdorfie w swoim debiucie na skoczni mamuciej odniósł pierwsze w karierze zwycięstwo w PŚ[10].
Na początku lipca 2019 dwukrotnie stanął na podium Letniego Pucharu Kontynentalnego w Kranju. W Letnim Grand Prix 2019 zwyciężył w lipcu w Wiśle i sierpniu w Courchevel, a w dwóch innych zawodach cyklu zajął miejsca w pierwszej dziesiątce[13]. W efekcie zajął 3. pozycję w klasyfikacji generalnej cyklu; z 268 punktami o 37 przegrał z pierwszym Dawidem Kubackim[14].
Sezon 2019/2020 Pucharu Świata rozpoczął zajmując miejsca w pierwszej dziesiątce, między innymi 6. na inaugurację w Wiśle. W kolejnych tygodniach zaczął jednak notować gorsze wyniki – w grudniu i pierwszej połowie stycznia kilkukrotnie kończył zawody poza najlepszą trzydziestką. Do regularnego punktowania powrócił w Titisee-Neustadt, gdzie w drugim konkursie 19 stycznia 2020 zajął 3. miejsce. W lutym 2020 dwukrotnie stanął na podium zawodów na skoczni mamuciej w Bad Mitterndorf, zajmując kolejno 2. i 3. lokatę. 3. miejsce zajął również w ostatnim w sezonie konkursie w Lillehammer rozgrywanym w ramach Raw Air 2020[13]. W klasyfikacji generalnej Pucharu Świata 2019/2020 znalazł się na 14. miejscu z 544 punktami. Z kolei w Pucharze Świata w lotach narciarskich 2019/2020 zajął 2. pozycję ze 140 punktami[12].
Za zachowanie na MŚwL Zajc został upomniany przez komisję dyscyplinarną Słoweńskiego Związku Narciarskiego[18]. Do startów międzynarodowych powrócił pod koniec stycznia 2021, w zawodach Pucharu Świata w Willingen zajmując miejsca poza trzydziestką. W dalszej części sezonu najwyżej klasyfikowany w cyklu był na 18. pozycji, w lutowych zawodach w Zakopanem[15].
W sezonie 2021/2022 Pucharu Świata zajmował głównie miejsca w pierwszej i drugiej dziesiątce. W pierwszej połowie sezonu raz stanął na podium zawodów indywidualnych – 18 grudnia 2021 w Engelbergu zajął 3. pozycję. Wystąpił na Zimowych Igrzyskach Olimpijskich 2022. Indywidualnie zajął 9. miejsce na skoczni normalnej i 6. na dużej, zaś w zawodach drużynowych stanął na podium. W konkursie zespołów mieszanych, startując wraz z Niką Križnar, Uršą Bogataj i Peterem Prevcem, zdobył złoty medal, zaś w drużynie męskiej, wraz z Lovro Kosem oraz Cene i Peterem Prevcem, zdobył srebro[19].
W marcu 2022 wystartował na Mistrzostwach Świata w Lotach Narciarskich 2022. Indywidualnie zdobył srebro, ze zwycięzcą Mariusem Lindvikiem przegrywając o 9,9 punktu, zaś w zawodach drużynowych, wraz z Domenem i Peterem Prevcem oraz Anže Laniškiem, zdobył złoty medal. W dwóch kolejnych zawodach Pucharu Świata, rozgrywanych na skoczni mamuciej w Oberstdorfie, zajął 3. oraz 1. miejsce, a następnie był dwukrotnie 4. w Planicy[19] i zwyciężył w Planica 7[20]. Sezon 2021/2022 ukończył na 8. lokacie w klasyfikacji generalnej Pucharu Świata z 711 punktami, a w Pucharze Świata w lotach narciarskich 2021/2022 znalazł się na 2. pozycji[12].
W konkursie Letniego Grand Prix 2022 w Klingenthal zajął 4. miejsce. W sezonie 2022/2023 Pucharu Świata najczęściej zajmował lokaty w pierwszej dziesiątce. W listopadowych zawodach cyklu najwyżej sklasyfikowany był na 10. miejscu w Ruce, a w grudniowych na 9. w Engelbergu. W styczniu 2023 raz stanął na podium – w konkursie na mamuciej skoczni Kulm zajął 2. pozycję. W lutym w Pucharze Świata najwyżej znalazł się w Lake Placid, na 4. miejscu[21].
Na Mistrzostwach Świata w Narciarstwie Klasycznym 2023 zdobył trzy medale, w tym dwa złote: w konkursie indywidualnym na skoczni dużej oraz w zawodach drużyn męskich, w których wystąpił wraz z Lovro Kosem, Žigą Jelarem i Anže Laniškiem. W zespole mieszanym, w którym wystartował z Niką Križnar, Emą Klinec i Laniškiem, wywalczył brąz, a indywidualnie na skoczni normalnej zajął 10. miejsce. W marcowych zawodach Pucharu Świata najwyżej klasyfikowany był na 7. lokacie[21]. 2 kwietnia 2023 zwyciężył w kończącym sezon konkursie w Planicy. Zajął również 3. miejsce w turnieju Planica 7[22]. W klasyfikacji generalnej PŚ 2022/2023 znalazł się na 8. pozycji z 853 punktami. Puchar Świata w lotach narciarskich 2022/2023 ukończył na 4. miejscu[12].