Tożsamość Bineta-Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tożsamość Bineta-Cauchy’ego to następująca równość[1]

Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli ai = ci i bj = dj, to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,

i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy, więc:

co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie i.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech A będzie macierzą o wymiarach m×n, a B macierzą o wymiarach n×m. Jeśli S jest podzbiorem m-elementowym zbioru {1,2,...n}, to AS będzie macierzą o wymiarach m×m, której kolumny są kolumnami macierzy A o indeksach ze zbioru S, a BS macierzą o wymiarach m×m, której wiersze są wierszami macierzy B o indeksach ze zbioru S. Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy A i B możemy zapisać jako:

gdzie suma przebiega po wszystkich możliwych podzbiorach zbioru S.

Jeśli

to uzyskujemy tożsamość Bineta-Cauchy’ego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Binet-Cauchy identity. W: Eric W. Weisstein: CRC concise encyclopedia of mathematics. Wyd. 2nd. CRC Press, 2003, s. 228. ISBN 1-58488-347-2.