Tożsamość Brahmagupty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Tożamość Brahmagupty, zwana również tożsamością Fibonacciego, stwierdza, że iloczyn dwóch sum dwóch kwadratów jest również sumą dwóch kwadratów. Oznacza to, że zbiór wszystkich sum dwóch kwadratów jest zamknięty ze względu na mnożenie:

\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2=
(1)
= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2
(2)

Na przykład:

(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.\,

Tożsamość jest specjalnym przypadkiem (n = 1) tożsamości Lagrange’a, i po raz pierwszy pojawia się w dziełach Diofantosa. Brahmagupta udowodnił ogólniejszą równość, w równoważnej formie:

\left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 =
(3)
= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2
(4)

co pokazuje, że zbiór liczb postaci x^2 + ny^2 jest zamknięty ze względu na mnożenie.

Obie równości można udowodnić poprzez rozwinięcie obu stron równania. Równość (2) można uzyskać z (1), poprzez zmianę b na –b.

Równość zachodzi dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

W przypadku całkowitym, tożsamość znajduje zastosowanie w teorii liczb; jeśli użyje się jej wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów, można udowodnić, że iloczyn kwadratu i dowolnie wielu liczb pierwszych postaci 4n + 1 jest sumą dwóch kwadratów.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19)[1]. Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez by Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126.[2] Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Związek z liczbami zespolonymi[edytuj | edytuj kod]

Jeśli a, b, c, i dliczbami rzeczywistymi, tożsamość równoważna jest multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

| a+bi |  | c+di | = | (a+bi)(c+di) |

Ponieważ

| a+bi |  | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

| a+bi |^2  | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.

Zastosowanie do rozwiąznywania równań Pella[edytuj | edytuj kod]

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella: x2 – Ny2 = 1. Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, \,

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki (x1y1k1) i (x2y2k2), będące rozwiązaniami x2 – Ny2 = k, aby otrzymać nową trójkę

(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania x2 – Ny2 = 1 przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez k1k2. Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty[3].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Thomas Little Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra. Cambridge: University Press, 1910, s. 166.
  2. George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, p. 306. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
  3. John Stillwell: Mathematics and its history. Wyd. 2. Springer, 2002, s. 72–76. ISBN 978-0-387-95336-6.