Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tożsamość czterech kwadratów Eulera - tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnch ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha[1][2]. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange'a o rozkładach liczb naturalnych.

Jeśli i liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów[3]; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.

Tożsamość jest prawdziwa dla z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości do wyrazów po prawej.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj]

  • [1] List CXV Eulera do Goldbacha

Bibliografia[edytuj]

  • John Conway, Richard Guy: The book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.)
  • Robert E. Bradley, Ed Sandifer: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier, 2007. (ang.)
  • Abe Shenitzer, John Stillwell: Mathematical Evolutions. Math. Assoc. America, 2002.