Topologia zwarto-otwarta

Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze $Y^{X}$ wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej $X$ do przestrzeni $Y.$ Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze $Y^{X}$ lub na jakimś wyróżnionym zbiorze $F$ ciągłych przekształceń $f\colon X\to Y,$ przy której wyrażenie $f(x)$ jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej $x\in X$ i zmiennej $f\in F.$ Innymi słowy, chodzi o taką topologię na $F,$ aby odwzorowanie $(f,x)\mapsto f(x)$ było ciągłe względem topologii produktowej na $F\times X$.

Definicje

Załóżmy, że $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, a $Y^{X}$ jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z $X$ w $Y.$ Jedną z topologii na zbiorze $Y^{X}$ jest topologia zbieżności punktowej ${\cal {T_{p},}}$ której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci

$U=\bigcap _{i=1}^{n}\{f\in Y^{X}\mid f(A_{i})\subseteq B_{i}\},$

gdzie każdy $A_{i}$ jest podzbiorem skończonym przestrzeni $X,$ a $B_{i}$ jest zbiorem otwartym w $Y$. Zbiór $Y^{X}$ można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim ${\underset {x\in X}{\operatorname {P} }}Y_{x},$ w którym $Y_{x}=Y$ dla każdego $x\in X.$ Topologia ${\cal {T_{p}}}$ jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w $Y,$ natomiast od topologii przestrzeni $X$ zależy jedynie zbiór funkcji należących do $Y^{X}.$

Silniejsza od ${\cal {T_{p}}}$ jest topologia zwarto-otwarta ${\cal {T_{c-o},}}$ w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny $U$ z tym, że teraz każdy $A_{i}$ jest podzbiorem zwartym przestrzeni $X$.

Topologia ${\cal {T_{c-o}}}$ zależy od obu topologii: od topologii w $Y$ i topologii w $X.$ Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni $Y^{X}$ jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej. Jeżeli zaś obie przestrzenie $X,Y$ są metryczne, to w przestrzeni $Y^{X}$ można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na $Y^{X},$ jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

Kanoniczna bijekcja

Załóżmy, że $X,Y,Z$ są przestrzeniami topologicznymi, a symbol $\mathrm {Map} (X,Y)$ oznacza przestrzeń $Y^{X}$ z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie

$\Gamma \colon \mathrm {Map} (X\times Y,Z)\to \mathrm {Map} {\big (}X,\mathrm {Map} (Y,Z){\big )}$

przyporządkowujące każdej funkcji $f\colon X\times Y\to Z$ funkcję $g\colon X\to Z^{Y},$ która z kolei każdemu $x\in X$ przyporządkowuje funkcję $g_{x}\colon Y\to Z$ określoną wzorem $g_{x}(y)=f(x,y).$ Jeżeli przestrzeń $Y$ jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to $\Gamma$ jest bijekcją i homeomorfizmem.

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za $Y$ podstawimy sferę n-wymiarową $\mathbf {S} ^{n}\ (n\geqslant 0)$ i rozważymy przestrzenie topologiczne $X_{x^{\diamond }}$ z wyróżnionymi punktami bazowymi $x^{\diamond }\!\in X.$ Przez $\mathrm {Map_{*}} (X_{x^{\diamond }},Y_{y^{\diamond }})$ oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni $\mathrm {Map} (X,Y)$ utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla $n=1$ otrzymujemy homeomorfizm

$\mathrm {Map_{*}} (\Sigma X_{x^{\diamond }},Z_{z^{\diamond }})\to \mathrm {Map_{*}} {\big (}X_{x^{\diamond }},\Omega Z_{x^{\diamond }}),$

w którym występuje zredukowane zawieszenie $\Sigma (X_{x^{\diamond }})$ homeomorficzne z $\mathbf {S^{1}} \!\!\wedge X_{x^{\diamond }},$ produktem ściągniętym przestrzeni $\mathbf {S} ^{1}$ i $X_{x^{\diamond }}$ oraz przestrzeń pętli $\Omega (Z_{z^{\diamond }})=\mathrm {Map_{*}} ({\mathbf {S} ^{1}}\!,Z_{z^{\diamond }}).$ Jest to naturalna równoważność funktorów. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-Hiltona

Zobacz też

• funktory sprzężone

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna Cz. II. Topologia algebraiczna. Topologia rozmaitości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• John L. Kelley: General Topology. Princeton: Van Nostrand Comp., 1955.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

Linki zewnętrzne

• Stefan Jackowski, Topologie w przestrzeniach odwzorowań, wykład dla studentów Wydziału MIM UW, https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/Topologia_I/przestrzenie_odwzorowan.pdf