Trójkąty podobne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Trójkąty podobne

Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: oraz tak, aby

gdzie jest pewną liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta względem

Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy i czytamy, że jest podobny do

Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli to także np. oraz Oznacza to, że w napisie układ liter wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

  • wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali
  • stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)[edytuj | edytuj kod]

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:

  1. Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
  2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
  3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk bo ostatnia para kątów też musi być równa, bowiem suma ich miar jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.

Pomiar wysokości piramidy[edytuj | edytuj kod]

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

PiramidaTales-grafik.svg

Ponieważ trójkąty i są podobne zachodzi proporcja: skąd
Znając – długość kija, mierząc – długość jego cienia i – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu[edytuj | edytuj kod]

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie. Statek tales.svg

Z podobieństwa trójkątów i mamy: czyli skąd

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]