Trójki pitagorejskie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Pochodząca z ok. 1800 r. p.n.e. babilońska gliniana tabliczka pisma klinowego zwana Plimpton 322 być może zawierająca liczby powiązane z trójkami pitagorejskimi.

Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie spełniające tzw. równanie Pitagorasa:

Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich:

3 4 5
5 12 13
6 8 10
7 24 25
8 15 17
9 12 15
12 16 20

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli trójka jest pitagorejska, to jest nią też dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli i nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Jeśli są liczbami naturalnymi, to

jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy i względnie pierwsze i ich suma jest liczbą nieparzystą. Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), jak również wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie i ) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.

Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską, nazywany jest trójkątem pitagorejskim. Z kolei trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 nazywa się trójkątem egipskim.

Rozwiązanie elementarne[edytuj | edytuj kod]

Kwadrat nieparzystej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1. Zatem suma kwadratów dwóch dowolnych liczb nieparzystych daje resztę 2 z dzielenia przez 8. Z drugiej strony, kwadrat dowolnej liczby naturalnej daje przy dzieleniu przez 8 jedną z reszt 0, 1, 4. Zatem suma dwóch kwadratów nieparzystych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem.

Niech będą liczbami naturalnymi, spełniającymi równanie:

(1)

Zatem co najmniej jedna z liczb jest parzysta. Przy założeniu, że są względnie pierwsze, jedna z liczb powiedzmy jest nieparzysta, a jest parzysta. Zatem jest nieparzysta i względnie pierwsza zarówno z liczbą jak i z liczbą

Każdy wspólny dzielnik liczb naturalnych oraz jest też dzielnikiem ich sumy, równej oraz ich różnicy, równej jest więc równy 1, a liczby oraz są względnie pierwsze.

Równanie (1) ma dokładnie te same rozwiązania co równanie:

(2)

Ponieważ liczby oraz są względnie pierwsze, to są pełnymi kwadratami pewnych liczb naturalnych oraz

skąd:

Dla każdego pierwotnego rozwiązania równania (1) istnieją liczby naturalne oraz takie że rozwiązanie wyraża się poprzez oraz jak wyżej. Aby otrzymać rozwiązanie pierwotne, należy wybrać liczby oraz o różnej parzystości i względnie pierwsze. Ostatnie trzy równości posłużą wtedy za definicję rozwiązania.

Wariacja[edytuj | edytuj kod]

W poprzednim fragmencie, i wciąż uznając jego założenia, zamiast równania (2), rozpatrzmy równanie

(3)

Każdy wspólny dzielnik nieparzystych liczb oraz jest też wspólnym dzielnikiem ich sumy, równej oraz różnicy, równej czyli jest równy 1 lub 2 (mówimy tylko o dodatnich liczbach całkowitych; w dalszym ciągu obowiązuje założenie z poprzedniego fragmentu o względnej pierwszości liczb a więc i liczb ). Ale 2 nie jest podzielnikiem nieparzystych liczb oraz Zatem są one względem pierwsze; więc są odpowiednio kwadratami pewnych nieparzystych, dodatnich liczb całkowitych czyli:

Pokazaliśmy, że dla każdego rozwiązania pierwotnego istnieją nieparzyste dodatnie liczby całkowite oraz takie że rozwiązanie określone jest przez powyższe trzy równości. Tak zadane przez nieparzyste oraz rozwiązanie jest pierwotne wtedy i tylko wtedy, gdy są względnie pierwsze.

Otrzymaliśmy nową parametryzację pierwotnych trójek pitagorejskich, nieco różną od poprzedniej.

Ogólnie, gdy liczby są tej samej parzystości, to powyższa trójka równości definiuje pewną trójkę pitagorejską, niekoniecznie pierwotną. Nie otrzyma się w ten sposób trójki pitagorejskiej (6, 8, 10) i wielu innych.

Wariacja II[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie metody przyrostów kwadratów liczb parzystych i nieparzystych można wyprowadzić zależność:

W powyższej zależności jest dzielnikiem takim, że dla parzystego parametr jest również parzysty, a dla nieparzystego jest nieparzysty. Dla wartości parametru i (z wyjątkiem liczb typu ) otrzymujemy trójki pierwotne. Dla pozostałych dzielników tworzone są pozostałe i możliwe kombinacje trójek pitagorejskich dla zadanego

Dla i zależność jest następująca:

Dla i zależność jest następująca:

co łatwo udowodnić, podstawiając za i ogólne wyrażenia. Nie otrzyma się w ten sposób np. trójki i wielu innych

Rozwiązanie zespolone z użyciem liczb Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza jedną z dwóch liczb zespolonych, których kwadrat jest równy

Liczby postaci gdzie oraz są liczbami całkowitymi, nazywamy liczbami Gaussa. Tworzą one pierścień Gaussa. W pierścieniu Gaussa istnieją dokładnie cztery jedności, czyli liczby multiplikatywnie odwracalne:

(Liczbę 1 nazywamy jedynką). Liczba sprzężona do jedności jest jej odwrotnością

Liczbę Gaussa nazywa się liczbą pierwszą, gdy w każdym jej rozkładzie na iloczyn dwóch liczb Gaussa jeden z czynników jest jednością. Iloczyn liczby pierwszej Gaussa przez jedność też jest liczbą pierwszą. Tak związane pary liczb pierwszych nazywamy liczbami równoważnymi. Każda różna od zera liczba Gaussa rozkłada się na skończony iloczyn liczb pierwszych Gaussa, jednoznacznie z dokładnością do równoważności i kolejności występowania w iloczynie.

Gdy liczba Gaussa jest iloczynem liczb Gaussa oraz to liczby oraz nazywamy dzielnikami liczby (w pierścieniu Gaussa). Gdy jest liczbą rzeczywistą (gdy ma część urojoną równą zero), to dzielnikami są także liczby Gaussa sprzężone bowiem ogólnie:

gdy

Dwie liczby Gaussa nazywamy względnie pierwszymi, gdy ich jedynymi wspólnymi podzielnikami są jedności. (Tak więc jedności i tylko jedności są względnie pierwsze z dowolną liczbą Gaussa). Dwie liczby naturalne są względnie pierwsze w klasycznym sensie (w kontekście ciała liczb wymiernych) wtedy i tylko wtedy gdy są względnie pierwsze jako liczby Gaussa (w pierścieniu liczb Gaussa).

Powróćmy teraz do równania:

(1)

gdzie oznaczają względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite. Zapiszmy równanie (1) równoważnie:

(1G)

Każdy dzielnik liczb oraz jest też dzielnikiem ich sumy oraz różnicy a więc liczby 2. Zakładając, jak we wcześniejszych fragmentach, że jest rozwiązaniem pierwotnym, liczby oraz są ponadto różnej parzystości, więc oraz są względnie pierwsze. Skoro tak, to są one kwadratami liczb Gaussa, pomnożonymi przez jedność, to znaczy: istnieją liczby całkowite (wymierne) oraz oraz jedność gaussowska (równa lub lub lub ), dla których:

Drugie równanie wynika z pierwszego. Wystarczy rozpatrywać przypadki oraz jako że oraz Dla otrzymujemy:

Gdy to otrzymujemy:

skąd:

Wprowadźmy liczby oraz Oczywiście Pokazaliśmy, że dla dowolnego rozwiązania pierwotnego równania (1) istnieją całkowite liczby dodatnie oraz (wymierne), takie że odpowiednio:

lub
lub

Rozwiązanie geometryczne[edytuj | edytuj kod]

Można prosto rozwiązać równanie[1]

(1)

korzystając z narzędzi elementarnej geometrii algebraicznej. Z rozwiązań wymiernych tego równania otrzymujemy rozwiązania całkowite, mnożąc liczby wymierne przez ich wspólny mianownik. Zauważmy ponadto, że jeśli to jedynym rozwiązaniem równania

jest trójka liczb (0, 0, 0). Rozwiązanie to będziemy nazywać rozwiązaniem zerowym.

Parametryzacja rozwiązań równań Pitagorasa za pomocą wymiernego parametru

Każdemu niezerowemu rozwiązaniu całkowitemu odpowiada rozwiązanie

równania:

(4)

Jest to równanie okręgu jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych. Również każdemu rozwiązaniu wymiernemu równania odpowiadają takie rozwiązania całkowite równania Pitagorasa, że (wystarczy, aby liczba była podzielna przez mianowniki liczb i ). Aby rozwiązać równanie Pitagorasa, wystarczy znaleźć punkty na okręgu jednostkowym o obu współrzędnych wymiernych. Jednym z rozwiązań jest Przez ten punkt oraz dowolny inny wymierny punkt okręgu możemy poprowadzić prostą. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest liczbą wymierną. Dlatego ten drugi punkt jest rozwiązaniem układu równań (4) i (5):

(5)

dla pewnej liczby wymiernej Trzeba wykazać, że dla dowolnej liczby wymiernej rozwiązanie powyższego układu jest liczbą wymierną. Po podstawieniu (5) do (4) dla z (5) wynika, że:

(bo ), skąd:

Podstawiając obliczoną wartość do równania (5), otrzymujemy

W ten sposób wszystkie rozwiązania wymierne równania (4) wyrażone są za pomocą wymiernego parametru Otrzymaliśmy tożsamość:

lub równoważnie:

Po podstawieniu gdzie i są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi i pomnożeniu równania przez

Wtedy każde rozwiązanie całkowite równania (1) w liczbach względnie pierwszych wyraża się wzorami:

Liczby całkowite definiują rozwiązania całkowite dodatnie równania (1).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Feliks Klein: Elementarmathematik vom hoheren standpunkte aus erster band. Verlag von Julius Springer, 1924.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]