Transformacja Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora
Animacja transformacji Lorentza

Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w poruszającym się układzie odniesienia, jeśli wielkości te znane są w danym układzie.

Przekształceniu Lorentza podlegają 4-wektory: 4-wektor położeń ciał w czasoprzestrzeni , 4-wektor prędkości ciał w czasoprzestrzeni, 4-wektor energii-pędu, tensory pola elektrycznego i magnetycznego, itd.

Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu.

Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Transformacja współrzędnych[edytuj]

W transformacji Galileusza niezmiennikami są oddzielnie odstęp czasowy zdarzeń oraz ich odległość w przestrzeni. Oznacza to, że odstęp czasu dwóch zdarzeń, zmierzony przez dwóch obserwatorów, poruszających się względem siebie, będzie taki sam. Podobnie odległość przestrzenna zdarzeń, zmierzona przez tych obserwatorów, będzie identyczna. Czas i przestrzeń są w klasycznej fizyce niezależne od siebie. Czas jest wielkością absolutną.

W transformacji Lorentza jest inaczej: zachowany jest interwał, tj. odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni, podczas gdy upływ czasu i odległość między zdarzeniami zmierzone przez obserwatorów poruszających się względem siebie będą inne, zależne od prędkości. W ten sposób czas trwania tego samego zjawiska czy odległość przestrzenna są wielkościami względnymi, zależnymi od obserwatora.

Transformacje współrzędnych czasoprzestrzeni mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego i poruszającego się , są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ porusza się ze stałą prędkością wzdłuż osi . Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach () i () wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych i w obu układach pokrywają się, to transformacja Lorentza ma postać:

gdzie:

lub inaczej

W powyższych wzorach - prędkość światła w próżni.

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła i , transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

Zapis macierzowy[edytuj]

Czterowektory - to wektory określone w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni; wektory te mają współrzędne, powstałe z rzutowania 4-wektora na osie układu; tradycyjnie współrzędnej czasowej (powstałej z rzutowania na oś czasu) nadaje się indeks , a trzem współrzędnym przestrzennym (powstałym z rzutowania wektora na osie przestrzenne) nadaje się indeksy . Przy takim wyborze wektor położenia zapisuje się w postaci

gdzie:

lub w skrócie

,

gdzie domyślnie indeks przyjmuje wartości: .

W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych.

Aby uzyskać współrzędne dowolnego 4-wektora w innym układzie, należy dokonać transformacji Lorentza mnożąc "stary" wektor przez macierz Lorentza

co oznacza, że nowe współrzędne wyrażają się przez stare następująco (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina)

gdzie:

,
 - współrzędne wektora w oryginalnym układzie współrzędnych,
- współrzędne wektora w nowym układzie współrzędnych,
- elementy macierzy transformacji Lorentza między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego jest macierz

tj. składowe diagonalne są niezerowe, , , a wszystkie inne zerują się.

Przekształcenie układu współrzędnych opisane macierzą będzie transformacją Lorentza, gdy:

  • pozostawia niezmieniony tensor metryczny, tj. prawdziwe będzie poniższe równanie
  • wyznacznik macierzy wynosi , tj.

Przekształcenia i podgrupy[edytuj]

W teorii względności stosowane są grupy Lorentza i Poincarégo. Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te stanowią grupę Poincarégo. Jeżeli wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest równy dokładnie 1, wtedy opisane macierzowo przekształcenie tworzy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych.

Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w ten sam punkt przestrzeni, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.

Pchnięcie Lorentza[edytuj]

Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względna prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie.

Interwał czasoprzestrzenny, który w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej, niepodlegającej obrotom i translacjom, oraz przestrzennej, pozostaje niezmienniczy ze względu na obroty i translacje w przestrzeni trójwymiarowej. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej rozważać działania w postaci obrotu oraz przesunięcia i tym samym wyróżnić podgrupę obrotów i podgrupę translacji.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych[edytuj]

Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii względności a także wielkości składowych pól elektrycznego i magnetycznego, które zmieniają się przy zmianie układu odniesienia, jak również określają dodatkowe niezmienniki.

Skrócenie Lorentza-FitzGeralda[edytuj]

Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu Bx',t' w porównaniu z układem Ax,t jest opisana następującymi równaniami:

Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x'1, x'2 na osi OX' w tej samej chwili t' (ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX', stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy x' za pomocą t':

Obliczmy długość L' (zał. t'1 = t'2):

Ponieważ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.

Dylatacja czasu[edytuj]

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwóch zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

.

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu ( > 1).

Pole magnetyczne[edytuj]

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego () i wektor natężenia pola magnetycznego () można połączyć w jeden czterowektor ().

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego.

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością v.

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampère’a i Biota-Savarta.

Zobacz też[edytuj]