Transformacja Z

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne jako, że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartley’a itp.).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu jest nazywana funkcja:

określona wzorem:

gdzie: – transformata oryginału; – oryginał dyskretny;

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji lub nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Liniowość[edytuj | edytuj kod]

Przesunięcie w dziedzinie czasu[edytuj | edytuj kod]

gdzie – dowolna dodatnia liczba całkowita; funkcja skokowa.

Transformata sumy[edytuj | edytuj kod]

Transformata różnicy[edytuj | edytuj kod]

Splot[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o wartości początkowej[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o wartości końcowej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje granica, to ma ona wartość:

Tabela transformat[edytuj | edytuj kod]

W poniższej tabeli przyjęto, że:

Lp. transformata Z, obszar zbieżności
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera,

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

Korzystając z definicji otrzymujemy:

stąd:

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu zdefiniowanego następująco:

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

Zatem:

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem Szereg jest zbieżny gdy co oznacza, że:

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

Przykład 3[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje i jest równa:

Przykład 4[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

gdzie

stąd:

Obszar zbieżności jest opisany nierównością

Powiązanie z transformatą Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

dla

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Wojciechowski, Sygnały i Systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
  • Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
  • Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.