Transformacja naturalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli są kategoriami, a są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z do nazywamy rodzinę morfizmów kategorii indeksowaną obiektami taką, że dla dowolnego morfizmu w następujący diagram komutuje:

Natural transformation.svg

tzn. [1][2]. Transformację taką oznaczamy symbolem Morfizmy nazywamy komponentami transformacji naturalnej .

Funktory i nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy dla każdego morfizm jest izomorfizmem w kategorii .

Złożeniem transformacji naturalnych i jest transformacja naturalna określona jako rodzina złożeń .

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii do .

Jeżeli jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z do traktując i jako funktory kowariantne z kategorii do [3].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech Vect będzie kategorią przestrzeni liniowych nad ciałem i przekształceń liniowych . Przestrzeń sprzężona (dualna) jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych . Przyporządkowując każdemu wektorowi przestrzeni funkcjonał na , należący do , określony wzorem dla , otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy [4]. Rodzina jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego VectVect w funktor drugiej sprzężonej VectVect określony przez przyporządkowanie obiektowe . Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech Vect oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem K i niech B będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z Vect do Vect (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom Hom(A, B) zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny Hom(Hom(–,B), B) z Vect do Vect. Każdemu A∈ObVect przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe z A w Hom(Hom(A,B), B), którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na Vect w funktor Hom(Hom(–,B), B) [5].

Niech Z oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii Ab grup abelowych). Funktor kowariantny Hom(Z, –): AbAb jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na Ab, a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup określone jako dla homorfizmów .

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych i gdzie są symbolami tych zmiennych[3].

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z SetSet do Set, który każdej parze obiektów X, Y (zbiorów w ObSet) przyporządkowuje zbiór Φ(X, Y) = X×Y, a każdej parze morfizmów , przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi Ψ(X, Y) = Y×X. Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje przyporządkowujące parze parę . Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C)[6].

Transformacją naturalną dla funktora z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja , która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

Dla zbioru komponent jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z .

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  3. Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]