Transformacja Z

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadanieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne jako, że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartley’a itp.).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu $f^{\ast }(t)$$f^\ast(t)$ jest nazywana funkcja:

$Z[f^{\ast }(t)]=Z[f(kT)]=F(z)$$Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)$

określona wzorem:

$F(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)z^{-k}$$F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) z^{-k}$,

gdzie: $F(z)$$F(z)$ – transformata oryginału; $f(kT)$$f(kT)$ – oryginał dyskretny; $k=1,2,\ldots$$k=1, 2, \ldots$

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji $f(k)=k!$$f(k) = k!$ lub $f(k)=e^{ak^{2}}(a>0)$$f(k) = e^{ak^2} (a > 0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Właściwości

Liniowość

$Z[af_{1}(kT)+bf_{2}(kT)]=aF_{1}(z)+bF_{2}(z)$$Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)$

Przesunięcie w dziedzinie czasu

$Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^{m}\left[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}\right]$$Z[f(kT+mT) \cdot H(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]$,

gdzie $m$$m$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; $H(kT)$$H(kT)$ – funkcja skokowa.

Transformata sumy

$Z\left[g(kT)\right]=Z\left[\ \sum _{n=-\infty }^{k}\ f(nT)\right]={\frac {z}{z-1}}F(z)$$Z\left[g(kT)\right] = Z\left[\ \sum_{n=-\infty}^{k}\ f(nT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z)$

Transformata różnicy

$Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0)$$Z[f((k+1)T) - f(kT)] = (z-1) F(z) - zf(0)$

Splot

$Z[f_{1}(n)*f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots +f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots +f_{1}(n)\cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z)\cdot F_{2}(z)$$Z[f_{1}(n) * f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots+f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots+f_{1}(n) \cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)$

Twierdzenie o wartości początkowej

$\lim _{k\rightarrow 0^{+}}f(kT)=\lim _{z\rightarrow \infty }F(z)$$\lim_{k \rightarrow 0^{+}} f(kT) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z)$

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli istnieje granica, $\lim _{k\rightarrow \infty }f(kT)$$\lim_{k \rightarrow \infty} f(kT)$, to ma ona wartość:

$f_{\infty }=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {z-1}{z}}F(z)$$f_{\infty} = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z)$.

Tabela transformat

W poniższej tabeli przyjęto, że:

• $u(n)={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$$u(n) = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$
• $\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

	$x(n)$$x(n)$	transformata Z, $X(z)$$X(z)$	obszar zbieżności
1	$\delta (n)$$\delta(n)$	$1$$1$	$z\in \mathbb {R}$$z \in \R$
2	$u(n)$$u(n)$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|>1$$|z| > 1$
3	$a^{n}u(n)$$a^n u(n)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z|>|a|$$|z| > |a|$
4	$na^{n}u(n)$$n a^n u(n)$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z|>|a|$$|z| > |a|$
5	$-a^{n}u(-n-1)$$-a^n u(-n-1)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z|<|a|$$|z| < |a|$
6	$-na^{n}u(-n-1)$$-n a^n u(-n-1)$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z|<|a|$$|z| < |a|$
7	$\cos(\omega _{0}n)u(n)$$\cos(\omega_0 n) u(n)$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z|>1$$|z| >1$
8	$\sin(\omega _{0}n)u(n)$$\sin(\omega_0 n) u(n)$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z|>1$$|z| >1$
9	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u(n)$$a^n \cos(\omega_0 n) u(n)$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z|>|a|$$|z| > |a|$
10	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u(n)$$a^n \sin(\omega_0 n) u(n)$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z|>|a|$$|z| > |a|$

Przykłady

Przykład 1

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, $\delta (n)$$\delta(n)$.

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

$\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

Korzystając z definicji otrzymujemy:

$Z[\delta (n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\ldots$$Z[ \delta(n) ] = \ldots + 0 \cdot z^{2} + 0 \cdot z^{1} + 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + 0 \cdot z^{-2} + \ldots$,

stąd:

$Z[\delta (n)]=1$$Z[\delta(n)] = 1$

Przykład 2

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)$$x(n)$ zdefiniowanego następująco:

$x(n)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}},&{\text{dla }}n\geqslant 0\\0,&{\text{dla }}n<0\end{cases}}$$x(n) = \begin{cases} \frac{1}{2^n},&\text{dla }n\geqslant 0\\ 0,&\text{dla }n<0 \end{cases}$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg $x(n)$$x(n)$ można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

$x(n)=u(n)\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$$x(n) = u(n) \left( \frac{1}{2} \right)^n$

Zatem:

$Z[x(n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+{\frac {1}{2}}\cdot z^{-1}+{\frac {1}{4}}\cdot z^{-2}+{\frac {1}{8}}\cdot z^{-3}+\ldots$$Z[ x(n) ] = \ldots + 0\cdot z^2 + 0 \cdot z^1 + 1\cdot z^0 + \frac{1}{2} \cdot z^{-1} + \frac{1}{4} \cdot z^{-2} + \frac{1}{8} \cdot z^{-3} + \ldots$

$Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}z^{-1}\right)^{n}$$Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} z^{-1} \right )^n$

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem $q={\tfrac {1}{2}}z^{-1}$$q = \tfrac{1}{2} z^{-1}$. Szereg jest zbieżny gdy $|q|<1$$|q| < 1$ co oznacza, że:

$|z|>{\frac {1}{2}}$$|z| > \frac{1}{2}$

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z$$z$, nierówność $|z|>{\tfrac {1}{2}}$$|z| > \tfrac{1}{2}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\tfrac {1}{2}}$$\tfrac{1}{2}$. Gdy $|z|>{\tfrac {1}{2}}$$|z| > \tfrac{1}{2}$, transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

$Z[x(n)]={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}={\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}$$Z[ x(n) ] = \frac{1}{ 1 - q } = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} z^{-1} } = \frac{z}{z - \frac{1}{2}}$

Przykład 3

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)=u(n)a^{n}$$x(n) = u(n) a^n$.

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

$Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(az^{-1}\right)^{n}$$Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a z^{-1} \right)^n$

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

$\left|az^{-1}\right|<1\implies |z|>|a|$$\left| a z^{-1} \right| < 1 \implies | z | > | a |$.

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z$$z$, nierówność $|z|>|a|$$|z| > |a|$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu $|a|$$|a|$. Gdy $|z|>|a|$$|z| > |a|$, transformata istnieje i jest równa:

$Z[x(n)]={\frac {1}{1-az^{-1}}}={\frac {z}{z-a}}$$Z[ x(n) ] = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

Przykład 4

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego $u(n)$$u(n)$.

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

$u(n)=a^{n}u(n)$$u(n) = a^n u(n)$, gdzie $a=1$$a = 1$,

stąd:

$Z[u(n)]={\frac {z}{z-1}}$$Z[ u(n) ] = \frac{z}{z-1}$

Obszar zbieżności jest opisany nierównością $|z|>1$$|z| > 1$.

Powiązanie z transformatą Fouriera

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

$X(z)$$X(z)$ dla $z=e^{j\omega }$$z=e^{j\omega}$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• zmodyfikowana transformata Z
• transformata z gwiazdką

Bibliografia

• Jacek Wojciechowski, Sygnały i Systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
• Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
• Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.