Transformacja Z

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne jako, że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartley’a itp.).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu $f^{*}(t)$ jest nazywana funkcja:

$Z[f^{*}(t)]=Z[f(kT)]=F(z)$

określona wzorem:

$F(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)z^{-k},$

gdzie: $F(z)$ – transformata oryginału; $f(kT)$ – oryginał dyskretny; $k=1,2,\dots$

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji $f(k)=k!$ lub $f(k)=e^{ak^{2}}(a>0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności

Liniowość

$Z[af_{1}(kT)+bf_{2}(kT)]=aF_{1}(z)+bF_{2}(z).$

Przesunięcie w dziedzinie czasu

$Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^{m}\left[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}\right],$

gdzie $m$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; $H(kT)$ – funkcja skokowa.

Transformata sumy

$Z\left[g(kT)\right]=Z\left[\ \sum _{n=-\infty }^{k}\ f(nT)\right]={\frac {z}{z-1}}F(z).$

Transformata różnicy

$Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0).$

Splot

$Z[f_{1}(n)*f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots +f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots +f_{1}(n)\cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z)\cdot F_{2}(z).$

Twierdzenie o wartości początkowej

$\lim _{k\to 0^{+}}f(kT)=\lim _{z\to \infty }F(z).$

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli istnieje granica, $\lim _{k\to \infty }f(kT),$ to ma ona wartość:

$f_{\infty }=\lim _{z\to 1}{\frac {z-1}{z}}F(z).$

Tabela transformat

W poniższej tabeli przyjęto, że:

• $u(n)={\begin{cases}1,&n\geqslant 0\\0,&n<0\end{cases}},$
• $\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.$

Lp.	$x(n)$	transformata Z, $X(z)$	obszar zbieżności
1	$\delta (n)$	$1$	$z\in \mathbb {R}$
2	$u(n)$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
3	$a^{n}u(n)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
4	$na^{n}u(n)$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
5	$-a^{n}u(-n-1)$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
6	$-na^{n}u(-n-1)$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
7	$\cos(\omega _{0}n)u(n)$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
8	$\sin(\omega _{0}n)u(n)$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
9	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u(n)$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
10	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u(n)$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

Przykłady

Przykład 1

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, $\delta (n).$

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

$\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.$

Korzystając z definicji otrzymujemy:

$Z[\delta (n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\dots ,$

stąd:

$Z[\delta (n)]=1.$

Przykład 2

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)$ zdefiniowanego następująco:

$x(n)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}},&{\text{dla }}n\geqslant 0\\0,&{\text{dla }}n<0\end{cases}}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg $x(n)$ można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

$x(n)=u(n)\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}.$

Zatem:

$Z[x(n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+{\frac {1}{2}}\cdot z^{-1}+{\frac {1}{4}}\cdot z^{-2}+{\frac {1}{8}}\cdot z^{-3}+\ldots$

$Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}z^{-1}\right)^{n}.$

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem $q={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.$ Szereg jest zbieżny gdy $|q|<1$ co oznacza, że:

$|z|>{\frac {1}{2}}.$

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z,$ nierówność $|z|>{\tfrac {1}{2}}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\tfrac {1}{2}}.$ Gdy $|z|>{\tfrac {1}{2}},$ transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

$Z[x(n)]={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}={\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}.$

Przykład 3

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu $x(n)=u(n)a^{n}.$

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

$Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(az^{-1}\right)^{n}.$

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

$\left|az^{-1}\right|<1\implies |z|>|a|.$

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej $z,$ nierówność $|z|>|a|$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu $|a|.$ Gdy $|z|>|a|,$ transformata istnieje i jest równa:

$Z[x(n)]={\frac {1}{1-az^{-1}}}={\frac {z}{z-a}}.$

Przykład 4

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego $u(n).$

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

$u(n)=a^{n}u(n),$ gdzie $a=1,$

stąd:

$Z[u(n)]={\frac {z}{z-1}}.$

Obszar zbieżności jest opisany nierównością $|z|>1.$

Powiązanie z transformatą Fouriera

Transformata Ze stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

$X(z)$ dla $z=e^{j\omega }$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• transformata z gwiazdką
• zmodyfikowana transformata Z

Bibliografia

• Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
• Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
• Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.