Transformacja Z

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Transformata Z)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadanieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne jako, że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartley’a itp.).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f^\ast(t) jest nazywana funkcja:

Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)

określona wzorem:

F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) z^{-k},

gdzie: F(z) – transformata oryginału; f(kT) – oryginał dyskretny; k=1, 2, \ldots

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji f(k) = k! lub f(k) = e^{ak^2} (a > 0) nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Liniowość[edytuj | edytuj kod]

Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)

Przesunięcie w dziedzinie czasu[edytuj | edytuj kod]

Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right],
gdzie m – dowolna dodatnia liczba całkowita; 1(kT)funkcja skokowa.

Transformata sumy[edytuj | edytuj kod]

Z\left[g(kT)\right] = Z\left[\ \sum_{n=-\infty}^{k}\ f(nT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z)

Transformata różnicy[edytuj | edytuj kod]

Z[f((k+1)T) - f(kT)] = (z-1) F(z) - zf(0)

Splot[edytuj | edytuj kod]

Z[f_{1}(n) * f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots+f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots+f_{1}(n) \cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)

Twierdzenie o wartości początkowej[edytuj | edytuj kod]

\lim_{k \rightarrow 0^{+}} f(kT) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z)

Twierdzenie o wartości końcowej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli istnieje granica, \lim_{k \rightarrow \infty} f(kT), to ma ona wartość:
f_{\infty} = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z).

Tabela transformat[edytuj | edytuj kod]

W poniższej tabeli przyjęto, że:

  • u(n) = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}
  • \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}
  x(n) transformata Z, X(z) obszar zbieżności
1 \delta(n) 1 z \in \R
2 u(n) \frac{1}{1-z^{-1}} |z| > 1
3 a^n u(n) \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| > |a|
4 n a^n u(n) \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|
5 -a^n u(-n-1) \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|
6 -n a^n u(-n-1) \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| < |a|
7 \cos(\omega_0 n) u(n) \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1
8 \sin(\omega_0 n) u(n) \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1
9 a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|
10 a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, \delta(n).

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

Korzystając z definicji otrzymujemy:

Z[ \delta(n) ] = \ldots + 0 \cdot z^{2} + 0 \cdot z^{1} + 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + 0 \cdot z^{-2} + \ldots,

stąd:

Z[\delta(n)] = 1

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu x(n) zdefiniowanego następująco:

x(n) = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \} dla n \geq 0 oraz x(n)=0 dla n < 0.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla n \geq 0: x(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n

oraz

x(n) = 0 dla n < 0.

Pozwala to zapisać ciąg x(n) za pomocą następującego zwartego wzoru:

x(n) = u(n) \left( \frac{1}{2} \right)^n

Zatem:

Z[ x(n) ] = \ldots + 0\cdot z^2 + 0 \cdot z^1 + 1\cdot z^0 + \frac{1}{2} \cdot z^{-1} + \frac{1}{4} \cdot z^{-2} + \frac{1}{8} \cdot z^{-3} + \ldots

Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} z^{-1} \right )^n

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem q = \frac{1}{2} z^{-1}. Szereg jest zbieżny gdy:

|q| < 1

co oznacza, że:

|z| > \frac{1}{2}

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej z, nierówność |z| > \frac{1}{2} jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu \frac{1}{2}. Gdy |z| > \frac{1}{2}, transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

Z[ x(n) ] = \frac{1}{ 1 - q } = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} z^{-1} } = \frac{z}{z - \frac{1}{2}}

Przykład 3[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu x(n) = u(n) a^n

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a z^{-1} \right)^n

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

\left| a z^{-1} \right| < 1, lub

| z | > | a |.

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej z, nierówność |z| > |a| jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu |a|. Gdy |z| > |a|, transformata istnieje i jest równa:

Z[ x(n) ] = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a}

Przykład 4[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego u(n).

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

u(n) = a^n u(n) gdzie a = 1,

stąd:

Z[ u(n) ] = \frac{z}{z-1}

Obszar zbieżności wynosi: |z| > 1

Powiązanie z transformatą Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

X(z) dla z=e^{j\omega}

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace’a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Wojciechowski, Sygnały i Systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
  • Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
  • Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.