Trygonometryczne wzory redukcyjne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0° do 45°.

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus[edytuj]

Tangens i cotangens[edytuj]

Podawanie wzorów typu nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie[edytuj]

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

  • jeśli w argumencie jest gdzie jest równe np. , , , lub , to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o w lewo.
  • jeśli w argumencie jest to przesuwamy wykres o w prawo.
  • jeśli w argumencie jest to przesuwamy wykres o w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

  • Jeśli przecina ją w punkcie , to wynikiem jest
  • Jeśli przecina ją w punkcie , to wynikiem jest
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do rośnie, to wynikiem jest
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do maleje, to wynikiem jest

Przykłady zastosowania[edytuj]

Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Zobacz też[edytuj]