Twierdzenie Bézouta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Bézoutatwierdzenie algebraiczne mówiące, iż pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Étienne'a Bézouta, choć twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie wielomianem zmiennej zaś oznacza funkcję wielomianową odpowiadającą temu wielomianowi.

Liczba jest pierwiastkiem wielomianu tzn. dwumian dzieli bez reszty wielomian wtedy i tylko wtedy, gdy jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej czyli

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dostateczność

Jeśli dzieli się przez bez reszty, to istnieje taki wielomian że Wartość funkcji w punkcie wynosi

zatem jest miejscem zerowym funkcji

Konieczność

Wielomian daje w dzieleniu przez dwumian resztę stopnia co najwyżej w związku z tym można oznaczyć Oznacza to, że

Skoro to

a więc musi być zatem

czyli dwumian dzieli bez reszty wielomian tzn. jest pierwiastkiem

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Wartość funkcji wielomianowej w punkcie jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Istotnie: dowód sugeruje, że jeżeli jest resztą z dzielenia przez tzn. istnieje taki wielomian że

to

Przykład

Wielomian w dzieleniu przez daje wielomian i resztę Z powyższego wniosku wynika, że gdyż

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]