Twierdzenie Bézouta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Bézoutatwierdzenie algebraiczne mówiące, iż pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Étienne'a Bézouta, choć twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie wielomianem zmiennej zaś oznacza funkcję wielomianową odpowiadającą temu wielomianowi.

Liczba jest pierwiastkiem wielomianu tzn. dwumian dzieli bez reszty wielomian wtedy i tylko wtedy, gdy jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej czyli

Dowód[edytuj]

Dostateczność

Jeśli dzieli się przez bez reszty, to istnieje taki wielomian że Wartość funkcji w punkcie wynosi

zatem jest miejscem zerowym funkcji

Konieczność

Wielomian daje w dzieleniu przez dwumian resztę stopnia co najwyżej w związku z tym można oznaczyć Oznacza to, że

Skoro to

a więc musi być zatem

czyli dwumian dzieli bez reszty wielomian tzn. jest pierwiastkiem

Wniosek[edytuj]

Wartość funkcji wielomianowej w punkcie jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Istotnie: dowód sugeruje, że jeżeli jest resztą z dzielenia przez tzn. istnieje taki wielomian że

to

Przykład

Wielomian w dzieleniu przez daje wielomian i resztę Z powyższego wniosku wynika, że gdyż

Zobacz też[edytuj]