Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta – twierdzenie algebraiczne mówiące, że pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej.

Twierdzenie

Niech ${\mathcal {R}}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Element $a\in {\mathcal {R}}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu $f(x)\in {\mathcal {R}}[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian $g(x)\in {\mathcal {R}}[x],$ że $f(x)=(x-a)g(x).$ Ponadto $\deg g(x)=\deg f(x)-1$.

Dowód

Niech $f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{0}.$

Korzystając ze wzoru $x^{k}-y^{k}=(x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+y^{k-1}),$ możemy zapisać

$f(x)-f(y)=(x-y)F(x,y),\;F(x,y)=\sum _{i,j\leqslant 0}a_{i+j+1}x^{i}y^{j},$

przyjmując, że $a_{k}=0$ dla $k>\deg f(x).$

Widać, że $F(x,y)$ jest wielomianem stopnia $n-1.$

Zakładając kolejno

$f(y)=0\Rightarrow f(x)=(x-y)F(x,y),$

$f(x)=(x-y)F(x,y)\Rightarrow f(y)=0,$

otrzymujemy tezę.

Równość Bézouta

Wartość wielomianu $f(x)$ w punkcie $y$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $f(x)$ przez dwumian $x-y.$

Istotnie, ostatnia równość z dowodu pokazuje, że:

$f(x)=g(x)(x-y)+f(y).$

Równość tę nazywamy równością Bézouta.

Przykład

Wielomian $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$ w dzieleniu przez $x-3$ daje trójmian $g(x)=x^{2}-9x-27$ i resztę $r=-123.$ Z powyższego wniosku wynika, że $f(3)=-123,$ gdyż

$f(x)=(x^{2}-9x-27)(x-3)-123.$

Zobacz też

• schemat Hornera