Twierdzenie Baire’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Twierdzenie Baire'a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Baire'a - przeliczalna suma w przestrzeni zupełnej X, taka, że:

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli gdzie jest nigdziegęsty dla dowolnego . Pokażemy, że jest brzegowy, czyli . Niech będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że . Skoro jest nigdziegęsty, to istnieje kula , że . Możemy przyjąć, że jest kulą domkniętą oraz δ (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli znajdziemy kulę domkniętą , że i δ. Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych taki, że: dla dowolnego mamy: , , δ. Z twierdzenia Cantora, mamy: . Zatem: oraz: więc: .

Zastosowania[edytuj]

Twierdzenie Baire'a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire'a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych[edytuj]

Stefan Banach użył twierdzenia Baire'a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku [0,1], które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny[1]. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z normą supremum. Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych k ≥ 1 dany będzie zbiór

.

Zbiory Nk (k jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech (fn) będzie ciągiem funkcji ze zbioru Nk zbieżnym do pewnej funkcji fC[0,1]. Niech xn będzie punktem dla którego funkcja fn spełnia warunek w definicji zbioru Nk oraz niech x0 będzie punktem skupienia ciągu (xn) (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka [0,1]). Wówczas funkcja graniczna f spełnia warunek określający zbiór Nk w punkcie x0, tj. fNk, co dowodzi domkniętości.

Niech A będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresamiłamane). Zbiór ten jest gęsty w C[0,1]. Ponadto każdą funkcję ze zbioru A, można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru Nk. Wynika stąd, iż

,

co, w szczególności, implikuje, że każdy ze zbiorów Nk ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory Nk są brzegowe.

Każdy ze zbiorów Nk jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire'a wynika, że

.

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru Nk, a zatem zbiór funkcji ciągłych na [0,1] które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku [0,1] bez pochodnych w żadnym punkcie. □

Przypisy

  1. S. Banach, Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 3 (1931), 174–179.

Zobacz też[edytuj]