Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Banacha–Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu[1], twierdzenie Banacha–Alaoglu–Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu–Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 roku[2] pierwszy dowód przypadku ogólnego[3][4].

Twierdzenie Banacha–Alaoglu[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni , tj. zbiór

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

,

tj.

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech będzie otoczeniem zera w . Wówczas zbiór

jest zwarty w *-słabej topologii

Dowód[5]. Dla każdego , obraz zawiera się w kole domkniętym

Każdemu funkcjonałowi odpowiada zatem punkt przestrzeni produktowej , która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w jest topologią zbieżności punktowej na , wystarczy pokazać, że zbiór punktów odpowiadających funkcjonałom z , tj. zbiór , jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech () będzie siecią elementów z o tej własności, że sieć jest zbieżna punktowo do pewnego . Jeżeli są takimi elementami oraz są takimi skalarami, że , to

Oznacza to, że odpowiada funkcjonałowi z , tj. , co dowodzi domkniętości zbioru w

Twierdzenie Alaoglu–Bourbakiego[edytuj | edytuj kod]

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu–Bourbakiego[6].

Niech będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór złożony z X-równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru[edytuj | edytuj kod]

Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodnili[7], że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne:

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Musielak 1989 ↓, s. 219-221.
  2. L. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, Ann. of Math. (2) 41, (1940), 252–267.
  3. Diestel 1984 ↓, s. 16.
  4. Megginson 1998 ↓, s. 229.
  5. Diestel 1984 ↓, s. 13-14.
  6. Wilansky 2013 ↓, s. 130.
  7. J. D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
  4. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
  5. Albert Wilansky: Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, 2013.