Twierdzenie Barbiera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wielokąty Reuleaux mają stałą szerokość i jeśli mają tę samą szerokość to na mocy twierdzenia Barbiera mają również taki sam obwód

Twierdzenie Barbiera – twierdzenie mówiące o tym, że wszystkie figury o stałej szerokości mają obwód równy ich szerokości pomnożony przez [1]. Opublikował je Joseph-Émile Barbier w 1860[2].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Najbardziej znane przykłady figur o stałej szerokości to koło i trójkąt Reuleaux[3]. Szerokością koła jest jego średnica o długości natomiast obwód ma długość Trójkąt Reuleaux składa się z trzech łuków okręgu o promieniu Każdy z łuków ma kąt środkowy o mierze równej więc obwód trójkąta Reuleaux o szerokości jest połową długości okręgu o promieniu czyli Podobna analiza dla innych prostych przypadków takich jak inne wielokąty Reuleaux daje te same odpowiedzi.

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Jeden z dowodów twierdzenia korzysta z własności dodawania Minkowskiego. Jeśli jest ciałem o stałej szerokości to wynikiem dodawania Minkowskiego i jego obrotu o 180° jest koło o promieniu i obwodzie Jednak dodawanie Minkowskiego jest operacją liniową dla figur wypukłych, więc obwód musi być połową obwodu koła, czyli tak jak stanowi teza twierdzenia[4].

Inny dowód można otrzymać z analizy zagadnienia igły Buffona. Wystarczy zauważyć, że igłę o długości można zastąpić dowolną łamaną lub krzywą o takiej samej długości. Łamana lub krzywa może być również zamknięta o obwodzie Najprostszą krzywą zamkniętą jest okrąg, który można zastąpić dowolną figurą o stałej szerokości[5].

Wyższe wymiary[edytuj | edytuj kod]

W przypadku bryły o stałej szerokościInformacje powiązane z artykułem „Bryła o stałej szerokości” w Wikidanych odpowiednik twierdzenia Barbiera jest fałszywy. W szczególności sfera o średnicy ma powierzchnię natomiast powierzchnia bryły wyznaczonej przez obrót trójkąta Reulaux to [1].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Jarosław Górnicki, Figury o stałej szerokości [dostęp 2018-06-16] [zarchiwizowane 2018-06-17].
  2. E. Barbier, Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert, „Journal de mathématiques pures et appliquées 2e série”, 5, 1860, s. 273–286 [dostęp 2018-06-16] [zarchiwizowane 2018-06-17] (fr.).
  3. Kamila Łyczek, Pozbądźmy się koła, „Mała Delta”, kwiecień 2015 [dostęp 2018-06-16].
  4. The Theorem of Barbier (Java), cut-the-knot [dostęp 2018-06-17].
  5. Mateusz Wróbel, Jak matematyk rzuca igłą, „Delta”, luty 2011 [dostęp 2018-06-17].