Postulat Bertranda

Joseph Louis François Bertrand

Postulat Bertranda (twierdzenie Czebyszewa, twierdzenie Bertranda-Czebyszewa) – twierdzenie w teorii liczb.

Twierdzenie

Dla każdej liczby naturalnej $n\in N$ większej lub równej $1$ istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od $n$ i mniejsza lub równa $2n.$

$\forall _{n\geqslant 1}\;\pi (2n)>\pi (n)$

lub

$\forall _{n\geqslant 1}\;\exists _{p\in \mathbb {P} }\;2n\geqslant p>n.$

Własności

Udowodniono również, że

$\forall _{n>5}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 2,$

$\forall _{n>8}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 3,$

$\forall _{n>14}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 4,$

$\forall _{n>20}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 5.$

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje „odpowiednia wartość”, którą można wpisać pod kwantyfikatorem.

Postulat Bertranda

Pafnutij Czebyszew

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli $n>3$ jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza $p$ taka, że $n<p<2n-2$. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału $[2,3\cdot 10^{6}].$ W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszew.

Zobacz też

• funkcja π
• liczby pierwsze Ramanujana