Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie[edytuj]

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów tak, że ciąg jest zbieżny.

Dowód 1.[edytuj]

Załóżmy, że jest ciągiem liczb rzeczywistych, oraz dla wszystkich . Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne , tak że dla każdego mamy

  • , , ,
  • , ,
  • ,
  • zbiór jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje . Przypuśćmy że wybraliśmy już tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech . Jeśli zbiór jest nieskończony, to połóżmy , i wybierzmy tak że . Jeśli zbiór jest skończony, to wtedy zbiór musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że , i wybieramy tak że .

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Dowód 2.[edytuj]

Załóżmy, że jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech , , i niech . Niech teraz będzie rodziną podprzedziałów przedziału indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

oraz i

gdzie .


Konstrukcja rodziny przedziałów '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'


Łatwo zauważyć, że długość przedziału równa jest , gdzie jest długością ciągu oraz dla dowolnych dwóch ,

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest początkiem ciągu .

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów , dla którego każdy z przedziałów , zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu .

Niech teraz oraz . Wówczas jest ściśle rosnący oraz . Pokażemy, że ciąg jest zbieżny do , gdzie .

Niech zatem i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że . Biorąc teraz mamy:

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do .

Dowód 3.[edytuj]

Niech będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech , i niech .

Niech dalej oraz niech jeśli zbiór jest nieskończony oraz w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu . Ponieważ dla , mamy , baza indukcji jest prawdziwa. Załóżmy zatem, że dla pewnego przedział zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu . Jeśli zbiór jest nieskończony, to i wówczas , czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu. Jeśli zbiór nieskończony nie jest, to musi być nieskończony , na mocy założenia indukcyjnego i wówczas oraz , co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz i niech . jest podciągiem ciągu . Ciąg jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum . Pokażemy, że .

Niech w tym celu i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że . Biorąc teraz mamy:

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do .

Zauważmy, że jest także granicą ciągów oraz .

Wniosek: twierdzenie Weierstrassa[edytuj]

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

Sformułowanie[edytuj]

Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb mamy

.

Dowód[edytuj]

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji , dla , jest zbiorem otwartym, a jest ciągła, to otwarte (w zbiorze ) są zbiory . Rodzina pokrywa przedział , więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją , dla których . Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego mamy , gdzie , co oznacza, że jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu przez . i istnieje ciąg punktów przedziału dla których ciąg jest zbieżny do . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ciągu zbieżny do pewnej granicy . Wtedy na mocy ciągłości funkcji otrzymujemy . A więc wartość funkcji f w punkcie jest kresem górnym obrazu (a więc także dla wszystkich ).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby , dla której .

Uwaga[edytuj]

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka ) jest istotne. Na przykład funkcja jest ciągła, ale nie jest ograniczona. Podobnie nie jest ograniczona, mimo że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.


Bibliografia[edytuj]

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1973.
  • G.M. Fichtenholtz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1972.
  • W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1976.