Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Bolzana[a]-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów tak, że ciąg jest zbieżny.

Dowód 1.[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest ciągiem liczb rzeczywistych, oraz dla wszystkich Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne tak że dla każdego mamy

  • zbiór jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje Przypuśćmy że wybraliśmy już tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech Jeśli zbiór jest nieskończony, to połóżmy i wybierzmy tak że Jeśli zbiór jest skończony, to wtedy zbiór musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że i wybieramy tak że

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Dowód 2.[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech i niech

Niech teraz będzie rodziną podprzedziałów przedziału indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

oraz i

gdzie

Konstrukcja rodziny przedziałów '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'

Łatwo zauważyć, że długość przedziału równa jest gdzie jest długością ciągu oraz dla dowolnych dwóch

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest początkiem ciągu

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów dla którego każdy z przedziałów zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu

Niech teraz oraz Wówczas jest ściśle rosnący oraz

Pokażemy, że ciąg jest zbieżny do gdzie

Niech zatem i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że

Biorąc teraz mamy:

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do

Dowód 3.[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech i niech

Niech dalej oraz niech jeśli zbiór jest nieskończony oraz w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu

Ponieważ dla mamy baza indukcji jest prawdziwa.

Załóżmy zatem, że dla pewnego przedział zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu Jeśli zbiór jest nieskończony, to i wówczas czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

Jeśli zbiór nieskończony nie jest, to musi być nieskończony na mocy założenia indukcyjnego i wówczas oraz co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz i niech jest podciągiem ciągu Ciąg jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum Pokażemy, że

Niech w tym celu i niech będzie takie, że oraz niech będzie takie, że

Biorąc teraz mamy:

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu do

Zauważmy, że jest także granicą ciągów oraz

Wniosek: twierdzenie Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

Sformułowanie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb mamy

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji dla jest zbiorem otwartym, a jest ciągła, to otwarte (w zbiorze ) są zbiory Rodzina pokrywa przedział więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją dla których Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego mamy gdzie co oznacza, że jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu przez

i istnieje ciąg punktów przedziału dla których ciąg jest zbieżny do Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ciągu zbieżny do pewnej granicy Wtedy na mocy ciągłości funkcji otrzymujemy A więc wartość funkcji w punkcie jest kresem górnym obrazu (a więc także dla wszystkich ).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby dla której

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka ) jest istotne. Na przykład funkcja jest ciągła, ale nie jest ograniczona. Podobnie nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. W literaturze niemal wyłącznie występuje błędna tj. nieodmieniona forma pierwszego nazwiska: Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1973.
  • G.M. Fichtenholtz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1972.
  • W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1976.