Twierdzenie Bretschneidera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Czworokąt ABCD

Twierdzenie Bretschneidera - twierdzenie geometryczne pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta znając jedynie długości jego boków oraz miary jego kątów. Zostało ono udowodnione niezależnie w 1842 roku przez Carla Bretschneidera[1][2] oraz przez F.Strehlkego[3][2].

Wypowiedź twierdzenia[edytuj]

Niech dany będzie dowolny czworokąt ABCD o bokach długości a, b, c i d, oraz kątach (kolejno) α, β, γ i δ. Oznaczmy połowę jego obwodu przez
.
Wtedy pole tego czworokąta wyraża się przez[4]
.

Dowód twierdzenia[edytuj]

Przypadek, gdy czworokąt ABCD nie jest wypukły.

Na początek zauważmy, że w twierdzeniu nie jest istotne, którą parę przeciwległych kątów - α i γ, czy β i δ - wybierzemy. Zachodzi bowiem

Oznaczmy pole czworokąta symbolem S. Wtedy

(1)

Zauważmy, że wzór ten działa zarówno, gdy czworokąt ABCD jest wypukły, jak i gdy jest wklęsły: przypuśćmy, że kąt γ ma miarę większą od kąta półpełnego. Wtedy wzór (1) przyjmuje postać

Ale pole trójkąta BDC to

,

co ostatecznie daje ponownie wzór (1).

Przemnażając wzór (1) przez 2 i podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy

(2)

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów ABD i BCD otrzymujemy

Łącząc powyższe równości otrzymujemy

Podnoszą równość do kwadratu i dzieląc przez 4 otrzymujemy:

(3)

Dodając stronami równania (2) i (3) oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznych (jedynki trygonometrycznej, cosinusa sumy kątów oraz cosinusa podwojonego kąta) otrzymujemy kolejno:

Przemnażając obie strony przez 4 i przenosząc jeden ze składników sumy na drugą stronę równość przyjmuje postać

Zapisując wyrażenie

jako

oraz korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy

Wprowadzając połowę obwodu s

otrzymujemy równość

z której, po podzieleniu przez 16 i obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.

Podobne twierdzenia[edytuj]

Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupty, będącego z kolei uogólnieniem wzoru Herona. Jeśli czworokąt dany jest wpisany w koło, to przeciwległe kąty sumują się do kąta półpełnego i wtedy

.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Ernest William Hobson: A treatise on plane geometry. Cambridge University Press, 1918.
  • F. Strehlke. Zwei neue Sätze vom ebenen und shparischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes.. „Archiv der Math.”, s. 33-326, 1842.