Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu[a] s w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w \mathbb{R}^{n+1}, zawierający n+1 punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich n+1 osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych. Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta[1]. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni \mathbb{R}^2, ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku[2][3].

Uwagi

  1. Choć twierdzenie Brouwera zostało sformułowane dla kuli n-wymiarowej, dowodzi się je w również przypadku sympleksu

Przypisy

  1. L.E.J. Brouwer, "Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich" Math. Ann. , 69 (1910) str. 176–180
  2. P. Bohl, "Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage" J. Reine Angew. Math., 127 (1904) str. 179–276
  3. H. Poincaré, "Sur les courbes definies par les équations différentielles" J. de Math. , 2 (1886)

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]