Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera[1]. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie[edytuj]

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja jest ciągłą injekcją zbioru otwartego na zbiór , to zbiór jest otwarty w .

Wnioski[edytuj]

  • Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm (możemy założyć, że ), a było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń na podzbiór otwarty zawarty w . Jedynym otwartym podzbiorem jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być .
  • Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Uwagi[edytuj]

  • Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli i -wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
  • W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta oraz odwzorowanie , takie że . Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń na zbiór o pustym wnętrzu.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Brouwer L. Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), strony 55 – 56

Literatura[edytuj]

  1. Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 94-96.