Twierdzenie Cantora o zupełności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Cantoratwierdzenie teorii przestrzeni metrycznych autorstwa Georga Cantora będące warunkiem koniecznym i dostatecznym zupełności danej przestrzeni metrycznej: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma granicę (tj. niepuste przecięcie; zob. zbiory rozłączne)[1].

Dla przestrzeni metryzowalnych pokryciowa definicja zwartości jest równoważna następującej definicji za pomocą ciągów zbiorów: każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych[a] ma granicę (tj. niepuste przecięcie). Warunek Cantora jest słabszy niż przytoczona definicja, dlatego każda metryzowalna przestrzeń zwarta jest zupełna[b]. Powyższej obserwacji można również dowieść, powołując się na równoważną (dla przestrzeni metryzowalnych) powyższym definicjom definicję ciągową: z każdego ciągu punktów przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni; oraz wykorzystaną w dowodzie własność ciągów Cauchy’ego: punkt skupienia ciągu Cauchy’ego jest jego granicą.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Konieczność
Jeżeli jest ciągiem zbiorów domkniętych przestrzeni metrycznej przy czym oraz to jest ciągiem Cauchy’ego. Z zupełności wynika, że a ponieważ dla (z ich domkniętości), to
Dostateczność
Niech spełnia warunek Cantora, zaś będzie ciągiem Cauchy’ego. Zbiory domknięte tworzą ciąg zstępujący, dla którego zatem istnieje punkt który jest punktem skupienia zatem na mocy własności ciągu Cauchy’ego.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Założenie zstępowania ciągu niepustych zbiorów domkniętych można zastąpić własnością przecięć skończonych rodziny zbiorów domkniętych.
  2. Dla każdej metryki generującej topologię przestrzeni zwartej przestrzeń metryczna jest zupełna.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 146.