Twierdzenie Castigliano

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Castigliana, nazwane od twórcy - Carla Alberta Castigliana, jest metodą określania przemieszczeń przy odkształceniach liniowych układu w oparciu o pochodną cząstkową energii sprężystości. Są dwie postaci twierdzenia Castigliana:

  • pierwsza postać, pozwalająca określić siły układu brzmi następująco:
Jeżeli energia sprężystości materiału liniowo-sprężystego może być wyrażona jako funkcja przemieszczeń qi, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem przemieszczeń jest równa siłom Qi zaczepionym w punktach przemieszczeń.

W formie równania,

gdzie U jest energią naprężeń;


  • druga postać, pozwalająca określić przemieszczenia układu:
Jeżeli energia naprężeń materiału liniowo-sprężystego jest wyrażana jako funkcja sił Qi, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem tych sił jest równa przemieszczeniom qi na kierunkach sił Qi w punktach ich zaczepienia.

W postaci wzoru:

Przykłady[edytuj]

Weźmy belkę obciążoną siłą P na końcu, odkształcenie można wyliczyć w oparciu o drugą postać twierdzenia Castigliana:

gdzie E jest modułem Younga a I momentem bezwładności przekroju belki, wtedy:

W wyniku otrzymujemy wzór na ugięcie belki obciążonej na końcu.

Bibliografia[edytuj]

  • Stephen P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill 1970 3rd edition. pp 254 - 258.,
  • Alexander Blake, Practival Stress Analysis ib Engineering Design Marcel Dekker Inc, 1990. ISBN 0-8247-8152-x
  • Joseph Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw Hill 1983. ISBN 0-07-056888-X pp 135 - 139.
  • Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover 1983. pp 288 - 293
  • Castigliano, Carlo Aberto, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879