Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

.

Dowód[edytuj]

  • Niech
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej:
  • Wykonując operacje elementarne na macierzy sprowadzimy ją do postaci
Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy przez element drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy:
jest zawsze parzyste, więc
  • Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski[edytuj]

  • Jeżeli jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ oraz , to i dalej , a stąd . Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
  • Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech oraz będą takimi macierzami, wtedy
    .

Bibliografia[edytuj]