Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda

Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda mówi o sposobie obliczania promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie

Mamy szereg potęgowy $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},$ który jest zbieżny na przedziale $(x_{0}-R,x_{0}+R).$ Liczbę $R$ nazywamy promieniem zbieżności i obliczamy według wzoru^[1]:

R={\begin{cases}\infty ,&\lambda =0\\0,&\lambda =\infty \\{\frac {1}{\lambda }},&0<\lambda <\infty \end{cases}},

gdzie $\lambda =\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.$

Dowód

Niech $x\in \mathbb {R}$ oraz $d_{x}:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|}}=\lambda |x-x_{0}|.$ Z kryterium Cauchy’ego mamy:

jeżeli $d_{x}<1$ to szereg $\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$ jest zbieżny bezwzględnie, czyli $x\in P,$
jeżeli $d_{x}>1$ to szereg $\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$ jest rozbieżny, czyli $x\notin P.$

Zauważamy, że $d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}$ (o ile wolno dzielić przez $\lambda$ ).

Jeżeli:

$\lambda =0\Rightarrow \forall _{x\in \mathbb {R} }$ $d_{x}=0,$ czyli $d_{x}<1,x\in P,x\in \mathbb {R} ,$ stąd $P=\mathbb {R} ,$
$\lambda =\infty \Rightarrow$ dla $x\neq x_{0}$ $d_{x}=\infty ,$ czyli $d_{x}>1,$ stąd $P=\{x_{0}\},R=0$
$0<\lambda <\infty$ wówczas $d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}.$ Zatem jeżeli $|x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}\Rightarrow x\in P$ oraz $|x-x_{0}|\leqslant R\Rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\leqslant R.$ Zakładamy teraz, że ${\frac {1}{\lambda }}<R.$ Z definicji kresu górnego $\exists _{x_{1}\in P}|x_{1}-x_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}.$ Wtedy jednak $d_{x}>1,$ co oznacza, że szereg $\sum a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}$ jest rozbieżny, a to jest sprzeczne z założeniem, iż $x_{1}\in P.$ Tak więc $R={\frac {1}{\lambda }}.$