Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’ego – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l’Hospitala. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dane funkcje i są:

to istnieje punkt należący do przedziału taki, że:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Zdefiniujmy

Zauważmy, że jest różniczkowalna na oraz więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje takie, że Ponadto

co kończy dowód.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje i są:

  • ciągłe w przedziale domkniętym różniczkowalne w przedziale oraz dodatkowo dla

to istnieje taki punkt że:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]