Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie

Niech $A,B$ będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

$\det(AB)=\det A\cdot \det B.$

Dowód

• Niech

$A=[a_{ij}]\in M,B=[b_{ij}],\ i,j=1,\dots ,n$

• Rozważmy macierz klatkową

$P:={\begin{bmatrix}A&0\\-I&B\end{bmatrix}}.$

• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej: $\det P=\det A\cdot \det B\ \ (\star )$
• Wykonując operacje elementarne na macierzy $P$ sprowadzimy ją do postaci ${\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy $P$ przez element $b_{11},$ drugą kolumnę przez $b_{21},$ trzecią przez $b_{31},\dots ,$ n-tą przez $b_{n1},$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:

${\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&0&\dots &0\\&&&0&b_{12}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element $b_{12},$ drugą kolumnę przez $b_{22},$ trzecią przez $b_{32},\dots ,$ n-tą przez $b_{n2},$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:

${\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\ldots +a_{1n}b_{n2}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&a_{n1}b_{12}+a_{n2}b_{22}+\ldots +a_{nn}b_{n2}&0&\dots &0\\&&&0&0&b_{13}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&0&b_{n3}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}$

Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:

$Q:={\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}.$

• Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc $\det P=\det Q.$
• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy: $\det Q=(-1)^{n^{2}}\det(-I)\det(AB)=(-1)^{n^{2}}\cdot (-1)^{n}\det I\det(AB)=\det(AB)\ \ (\star \star )$

$(n^{2}+n$ jest zawsze parzyste, więc $(-1)^{n^{2}+n}=1)$

• $(\star ),(\star \star )\Rightarrow \det A\cdot \det B=\det P=\det Q=\det(AB).$ Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski

• $\det(AB)=\det A\cdot \det B=\det B\cdot \det A=\det(BA)$
• Jeżeli $A$ jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ $\det I=1$ oraz $AA^{-1}=I,$ to $\det AA^{-1}=1$ i dalej $\det A\cdot \det A^{-1}=1,$ a stąd $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}.$ Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
• Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech $A$ oraz $B$ będą takimi macierzami, wtedy

  $\det B=\det(P^{-1}AP)=\det(PP^{-1}A)=\det A.$

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 241.

Linki zewnętrzne

• Cauchy Binet formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].