Twierdzenie Cauchy'ego (teoria wyznaczników)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Cauchy'egotwierdzenie przypisywane Cauchy'emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech A, B\, będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

\det(AB) = \det A \cdot \det B.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

  • Niech
 A = [a_{ij}] \in M, B = [b_{ij}],\ i,j = 1,\dots,n
 P :=\begin{bmatrix} A & 0 \\ -I & B \end{bmatrix}.
Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy P\, przez element  b_{11}, \, drugą kolumnę przez b_{21}, \, trzecią przez b_{31}, \dots , n-tą przez  b_{n1}, \, a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
 \begin{bmatrix}
 &    &  & a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} & 0      & \dots  & 0      \\
 &  A &  &                \vdots                              & \vdots &        & \vdots \\
 &    &  & a_{n1}b_{11} + a_{n2}b_{21} + \dots + a_{nn}b_{n1} & 0      & \dots  & 0      \\
 &    &  &                   0                                & b_{12} & \dots  & b_{1n} \\
 & -I &  &                 \vdots                             & \vdots &        & \vdots \\
 &    &  &                   0                                & b_{n2} & \dots  & b_{nn}
\end{bmatrix}
Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element  b_{12}, \, drugą kolumnę przez b_{22}, \, trzecią przez b_{32}, \dots , n-tą przez  b_{n2}, \, a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
 \begin{bmatrix}
 &    &  & a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \dots + a_{1n}b_{n2} & 0      & \dots  & 0      \\
 &  A &  &                \vdots                              &                \vdots               & \vdots &        & \vdots \\
 &    &  & a_{n1}b_{11} + a_{n2}b_{21} + \dots + a_{nn}b_{n1} & a_{n1}b_{12} + a_{n2}b_{22} + \dots + a_{nn}b_{n2} & 0      & \dots  & 0      \\
 &    &  &                   0                                &      0  
                     & b_{13} & \dots  & b_{1n} \\
 & -I &  &                 \vdots                             &                 \vdots               & \vdots &        & \vdots \\
 &    &  &                 0                                  &                  0                    & b_{n3} & \dots  & b_{nn} 
\end{bmatrix}
Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
 Q := \begin{bmatrix} A & AB \\ -I & 0 \end{bmatrix}.
( n^2 + n \, jest zawsze parzyste, więc  (-1)^{n^2+n} = 1 )
  •  (\star),  (\star \star) \Rightarrow \det A \cdot \det B = \det P = \det Q = \det(AB). Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • \det(AB) = \det A \cdot \det B = \det B \cdot \det A = \det(BA)
  • Jeżeli A\, jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ \det I = 1 \, oraz AA^{-1} = I\,, to \det AA^{-1} = 1 \, i dalej \det A \cdot \det A^{-1} = 1, a stąd \det A^{-1} = (\det A)^{-1}\,. Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
  • Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech A oraz B będą takimi macierzami, wtedy
    \det B = \det (P^{-1}AP) = \det (P P^{-1}A) = \det A\,.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]