Twierdzenie Cevy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC
Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC

Twierdzenie Cevytwierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Treść[edytuj | edytuj kod]

Dany jest trójkąt oraz punkty Jeżeli trzy proste i przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to:

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych może leżeć poza trójkątem.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Przyjmijmy, że:

Wtedy:

oraz

Z tego wynika, że

Analogicznie:

Zatem:

Po skróceniu otrzymujemy:

ale

więc:

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste i nie są równoległe. Załóżmy, że punkty i spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta nie jest równoległa do prostej Niech i przecinają się w i niech przecina w Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości zachodzi

A więc czyli i pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej o początku w ). A więc i przecinają się w

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu[1][edytuj | edytuj kod]

Niech oznaczają punkty czworościanu leżące odpowiednio wewnątrz odcinków Załóżmy, że płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej jak i które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

to płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 252–253. ISBN 83-86007-63-X.