Twierdzenie Cochrana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Cochranatwierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

gdzie są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych takimi że

gdzie są rzędami

Teza[edytuj | edytuj kod]

Zmienne są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z stopniami swobody.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią i odchyleniem standardowym wtedy

ma standardowy rozkład normalny dla każdego

Możemy zapisać:

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

natomiast drugi składnik jest sumą identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez otrzymujemy:

Ranga wynosi (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga być z kolei obliczona jako

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład ze stopniami swobody odpowiednio i

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

Jako estymatora wariancji używa się często:

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

z czego wynika, że wartością oczekiwaną jest

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]