Twierdzenie Cochrana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cochranatwierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia[edytuj]

Załóżmy, że niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

,

gdzie są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych , takimi że

gdzie są rzędami .

Teza[edytuj]

Zmienne są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ2 z stopniami swobody.

Przykład[edytuj]

Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią i odchyleniem standardowym , wtedy

ma standardowy rozkład normalny dla każdego .

Możemy zapisać:

.

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

,

natomiast drugi składnik jest sumą identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez otrzymujemy:

.

Ranga wynosi (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga być z kolei obliczona jako .


Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład ze stopniami swobody odpowiednio i .

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

.

Jako estymatora wariancji używa się często:

.

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

,

z czego wynika, że wartością oczekiwaną jest .

Zobacz też[edytuj]