Twierdzenie Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Nie mylić z: twierdzeniem o wartości średniej.

Twierdzenie Darbouxtwierdzenie analizy rzeczywistej noszące nazwisko Jeana Darboux, które zapewnia o tym, że każda rzeczywista funkcja ciągła ma własność Darboux; w szczególności: każda funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami krańców przedziału. Stąd pochodzi inna nazwa twierdzenia, mianowicie twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich lub krócej twierdzenie o wartości pośredniej; z twierdzeniem wiążą się również nazwiska Bernarda Bolzana i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana–Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą. Jeżeli (tzn. wartości funkcji na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt w przedziale , dla którego

.

Ogólniej: każda funkcja ciągła ma własność Darboux, tzn. jeśli oraz spełnia jedną z nierówności lub , to istnieje taki punkt w przedziale , dla którego

.

Oba sformułowania są równoważne: funkcje w obu z nich różnią się jedynie o stałą .

Dowody[edytuj]

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości[edytuj]

Niech . Bez straty ogólności można założyć, że jest liczbą z przedziału otwartego . Niech

Wówczas zbiory i są niepuste. Niech . Dla danych oraz oznaczmy

Wykażemy, że . Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów i spełnione są następujące ciągi implikacji:

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby

Analityczny z definicji Heinego ciągłości[edytuj]

Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego . Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi , , :

  • ,
  • Jeśli , to koniec dowodu
    Jeśli , to ,
    Jeśli , to ,
    .

Tak zdefiniowane ciągi mają następujące własności:

  1. ,
  2. .
  3. ,

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

Na podstawie ciągłości funkcji ciągi są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

Stąd

Topologiczny[edytuj]

Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego . Przypuśćmy, że nie jest wartością funkcji . Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera [1][2][3]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy[edytuj]

  1. Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wyd. 4. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1996. ISBN 83-01-02846-7. (pol.), Rozdział 4.Ciągłość. Ciągłość i spójność Tw. 4.22 str. 80.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Wyd. 3. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1976. ISBN 83-01-02846-7. (pol.) Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw.II.17 str. 47.
  3. I. Dziubiński, T. Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 2. Wyd. IV. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1985. ISBN 83-01-04121-8. (pol.) Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru str. 528.

Bibliografia[edytuj]