Twierdzenie Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Darboux, twierdzenie o wartości pośredniej[1]twierdzenie analizy rzeczywistej mówiące, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym ma własność Darboux, tj. przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami jego krańców[2][3]. Stąd inna nazwa twierdzenia: twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich[potrzebny przypis].

Twierdzenie jest nazwane od Jeana Darboux; wiążą się z nim również nazwiska Bernarda Bolzana i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą. Jeżeli (tzn. wartości funkcji na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt w przedziale dla którego

Ogólniej: każda funkcja ciągła ma własność Darboux, tzn. jeśli spełnia jedną z nierówności lub to istnieje taki punkt w przedziale dla którego

Oba sformułowania są równoważne: funkcje w obu z nich różnią się jedynie o stałą

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości[edytuj | edytuj kod]

Niech Bez straty ogólności można założyć, że jest liczbą z przedziału otwartego

Niech

Wówczas zbiory i są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości Dla danych oraz oznaczmy

Wykażemy, że Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów i spełnione są następujące ciągi implikacji:

czyli:

w innym przypadku:

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby

Analityczny z definicji Heinego ciągłości[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi

  • jeśli to koniec dowodu,
    jeśli to
    jeśli to

Tak zdefiniowane ciągi mają następujące własności:

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

Na podstawie ciągłości funkcji ciągi są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

Stąd

Topologiczny[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Przypuśćmy, że nie jest wartością funkcji Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera [4][5][6].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2023-11-22].
  2. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Michał Bełdziński, Twierdzenie Darboux. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-11-22].
  3. Darboux własność, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-11-22].
  4. Dziubiński i Świątkowski 1985 ↓, s. 528.
  5. Maurin 1976 ↓, s. 47.
  6. Rudin 1996 ↓, s. 80.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]