Twierdzenie Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Nie mylić z: twierdzeniem o wartości średniej.

Twierdzenie Darbouxtwierdzenie analizy rzeczywistej noszące nazwisko Jeana Darboux, które zapewnia o tym, że każda rzeczywista funkcja ciągła ma własność Darboux; w szczególności: każda funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami krańców przedziału. Stąd pochodzi inna nazwa twierdzenia, mianowicie twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich lub krócej twierdzenie o wartości pośredniej; z twierdzeniem wiążą się również nazwiska Bernarda Bolzano i Augustina Louisa Cauchy'ego (nazwy twierdzenie Bolzano–Cauchy'ego lub twierdzenie Cauchy'ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f(a) · f(b) < 0 (tzn. wartości funkcji f na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt c w przedziale (a, b), dla którego

.

Ogólniej: każda funkcja ciągła ma własność Darboux, tzn. jeśli f(a) ≠ f(b) oraz d spełnia jedną nierówności f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b), to istnieje taki punkt c w przedziale [a, b], dla którego

.

Oba sformułowania są równoważne: funkcje f w obu z nich różnią się jedynie o stałą d.

Dowody[edytuj]

Analityczny z definicji Cauchy'ego ciągłości[edytuj]

Niech f: [a, b] → ℝ będzie funkcją. Bez straty ogólności można założyć, że d jest liczbą z przedziału otwartego (f(a), f(b)). Niech

Wówczas zbiory A i Ac są niepuste. Niech s = sup A. Dla danych T ⊆ ℝ, p0T oraz r > 0 oznaczmy

Wykażemy, że f(s) = d. Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów A i Ac spełnione są następujące ciągi implikacji:

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby f(s) ≠ d.

Analityczny z definicji Heinego ciągłości[edytuj]

Niech f: [a, b] → ℝ będzie funkcją oraz niech d będzie liczbą z przedziału otwartego (f(a), f(b)). Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi , , :

  • ,
  • Jeśli , to koniec dowodu
    Jeśli , to ,
    Jeśli , to ,
    .

Tak zdefiniowane ciągi mają następujące własności:

  1. ,
  2. .
  3. ,

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

Na podstawie ciągłości funkcji ciągi są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

Stąd

Topologiczny[edytuj]

Niech f: [a, b] → ℝ będzie funkcją oraz niech d będzie liczbą z przedziału otwartego (f(a), f(b)). Przypuśćmy, że d nie jest wartością funkcji f. Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej ℝ \ {d} powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział [a, b]), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że d nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja sgn x = x / |x| określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera (x ∈ ℝ \ {0})[1][2][3].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy[edytuj]

  1. Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wyd. 4. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1996. ISBN 83-01-02846-7. (pol.), Rozdział 4.Ciągłość. Ciągłość i spójność Tw. 4.22 str. 80
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Wyd. 3. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1976. ISBN 83-01-02846-7. (pol.) Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. §10. Przestrzenie spójne. Tw.II.17 str. 47
  3. I. Dziubiński, T. Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 2. Wyd. IV. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1985. ISBN 83-01-04121-8. (pol.) Rozdział XXI. Elementy Topologii. §1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru str. 528

Bibliografia[edytuj]