Twierdzenie Eulera (geometria)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
EulerGeometry.GIF

Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.

Teza[edytuj]

Jeżeli w danym trójkącie jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi

,

gdzie i oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.

Dowód[edytuj]

Niech:

  • będzie środkiem okręgu o promieniu opisanego na danym trójkącie ,
  • środkiem okręgu o promieniu wpisanego w ten trójkąt.

Dwusieczna kąta przecina okrąg opisany w pewnym punkcie który połowi łuk .

Niech prosta przecina okrąg opisany w punkcie .

Niech będzie rzutem prostokątnym na : .

Trójkąty i są podobne (cecha: równość kątów), a zatem czyli tzn. Rozważmy trójkąt .

Ponieważ

( jest dwusieczną kąta ),

więc i , skąd . Niech prosta przecina okrąg opisany w punktach i . Wtedy , czyli , tzn. .

Uwagi[edytuj]

Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera: