Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że jest funkcją ciągłą. Wówczas
.

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech będzie miarą produktową.

  • Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
(b) jeśli dla położymy a dla określimy , to otrzymane funkcje i są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz
.

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

  • Przypuśćmy, że jest zbiorem mierzalnym (tzn ). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady[edytuj]

Zastosowanie[edytuj]

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

.

Wówczas

.

Zauważmy, że

.

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji dostajemy, że równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż , a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

Stąd już prosto mamy, iż

.

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek często wykorzystywanych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

.

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie a potem podstawienie jak następuje:

.

Funkcja niecałkowalna[edytuj]

Rozważmy całki

oraz

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że . Pokażemy, że , a więc także .

Do obliczenia całki

użyjemy podstawienia trygonometrycznego . Tak więc

oraz

Granice całkowania dają nam czyli , a stąd Zatem

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

oraz

Zatem

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

Tak więc

oraz

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji . Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

Zobacz też[edytuj]