Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary; pozwala zastępować całki wielokrotne całkami pojedynczymi, tj. z funkcji jednej zmiennej[1].
W pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.
Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:
- Przypuśćmy, że jest funkcją ciągłą. Wówczas
Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.
Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech będzie miarą produktową.
- Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
- (a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
- (b) jeśli dla położymy a dla określimy to otrzymane funkcje i są całkowalne (odpowiednio względem μ i ν) oraz
Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)
- Przypuśćmy, że jest zbiorem mierzalnym (tzn. ). Wówczas następujące warunki są równoważne:
- (i)
- (ii)
- (iii)
Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.
Ten artykuł należy dopracować:
Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że
Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy
Gdyby było wiadomo, że całka
jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy
tj. całce
Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie
Podnosząc do kwadratu otrzymujemy
Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce
tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–a, a), (a, a), (a, –a), (–a, –a)}.
Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji po dowolnym kole zawartym w kwadracie nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:
do całek po kołach otrzymujemy nierówność
Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:
Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że
Rozważmy całki
- oraz
Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że Pokażemy, że a więc także
Do obliczenia całki
użyjemy podstawienia trygonometrycznego Tak więc
- oraz
Granice całkowania dają nam czyli a stąd Zatem
Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:
- oraz
Zatem
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):
Tak więc
- oraz
Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji
Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fubini Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
- Fubini theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].