Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że jest funkcją ciągłą. Wówczas
.

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech będzie miarą produktową.

  • Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
(b) jeśli dla położymy a dla określimy , to otrzymane funkcje i są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz
.

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

  • Przypuśćmy, że jest zbiorem mierzalnym (tzn ). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady[edytuj]

Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa[edytuj]

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

Gdyby było wiadomo, że całka

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

tj. całce

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(−aa), (aa), (a, −a), (−a, −a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji po dowolnym kole zawartym w kwadracie nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

Funkcja niecałkowalna[edytuj]

Rozważmy całki

oraz

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że . Pokażemy, że , a więc także .

Do obliczenia całki

użyjemy podstawienia trygonometrycznego . Tak więc

oraz

Granice całkowania dają nam czyli , a stąd Zatem

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

oraz

Zatem

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

Tak więc

oraz

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji . Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

Zobacz też[edytuj]