Przejdź do zawartości

Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary; pozwala zastępować całki wielokrotne całkami pojedynczymi, tj. z funkcji jednej zmiennej[1].

W pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że jest funkcją ciągłą. Wówczas

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech będzie miarą produktową.

  • Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
(b) jeśli dla położymy a dla określimy to otrzymane funkcje i są całkowalne (odpowiednio względem μ i ν) oraz

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

  • Przypuśćmy, że jest zbiorem mierzalnym (tzn. ). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i)
(ii)
(iii)

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa

[edytuj | edytuj kod]

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

Gdyby było wiadomo, że całka

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

tj. całce

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–aa), (aa), (a, –a), (–a, –a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji po dowolnym kole zawartym w kwadracie nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

Funkcja niecałkowalna

[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy całki

oraz

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że Pokażemy, że a więc także

Do obliczenia całki

użyjemy podstawienia trygonometrycznego Tak więc

oraz

Granice całkowania dają nam czyli a stąd Zatem

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

oraz

Zatem

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

Tak więc

oraz

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Fubiniego twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-06-20].

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • Eric W. Weisstein, Fubini Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Fubini theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].