Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu p(z) a zerami jego pochodnej p'(z) na płaszczyźnie zespolonej . Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle’a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle’a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle’a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej , podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź[edytuj]

Jeżeli p jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu p' należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu p.

Dowód[edytuj]

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci , gdzie to pierwiastki wielomianu. Niech więc będzie wielomianem stopnia , którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to . Zatem mamy

gdzie jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze . Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

i podzielmy przez co daje

Niech będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: . Jeżeli , to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy należy do otoczki wypukłej zbioru . Niech więc ,   to z powyższej równości otrzymamy

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości daje

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron otrzymamy

co po przekształceniu daje

Oznaczając

mamy       oraz

co jest kombinacją wypukłą wektorów .

Linki zewnętrzne[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Wyd. AGH, Kraków 2013.