Przejdź do zawartości

Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu a zerami jego pochodnej na płaszczyźnie zespolonej Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle’a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle’a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle’a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci gdzie to pierwiastki wielomianu. Niech więc będzie wielomianem stopnia którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to Zatem mamy

gdzie jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

i podzielmy przez co daje

Niech będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: Jeżeli to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy należy do otoczki wypukłej zbioru Niech więc to z powyższej równości otrzymamy

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości daje

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron, otrzymamy

co po przekształceniu daje

Oznaczając

mamy oraz

co jest kombinacją wypukłą wektorów

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, Wyd. AGH, Kraków 2013.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]