Twierdzenie Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie matematycznej. Zobacz też: twierdzenie w teorii półgrup.
Niech będzie obszarem normalnym, takim że oraz , wtedy brzeg możemy podzielić na krzywe gładkie, co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena to matematyczne twierdzenie sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George'a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Treść twierdzenia[edytuj]

Jeżeli funkcje i są klasy wewnątrz obszaru regularnego , krzywa regularna jest brzegiem obszaru i jest zorientowana dodatnio, to:

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

Dowód[edytuj]

Niech będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc .

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych :

Wówczas dla , dla oraz dla

Tak więc dla składowej pola wektorowego otrzymujemy:

Zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik :

Stosując Twierdzenie Newtona-Leibniza otrzymujemy:

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.