Twierdzenie Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie matematycznej. Zobacz też: twierdzenie w teorii półgrup.
Niech będzie obszarem normalnym, takim że oraz wtedy brzeg możemy podzielić na krzywe gładkie co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greenatwierdzenie matematyczne sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje i są klasy wewnątrz obszaru regularnego krzywa regularna jest brzegiem obszaru i jest zorientowana dodatnio, to:

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych :

Wówczas dla dla oraz dla

Tak więc dla składowej pola wektorowego otrzymujemy:

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik :

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.