Twierdzenie Greena

Niech $D$ będzie obszarem normalnym, takim że $x\in [a,b]$ oraz $g_{1}(x)<y<g_{2}(x),$ wtedy brzeg $D$ możemy podzielić na krzywe gładkie $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},$ co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa, które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Treść twierdzenia

Jeżeli funkcje $P$ i $Q$ są klasy $C^{1}$ wewnątrz obszaru regularnego $D,$ krzywa regularna $K$ jest brzegiem obszaru $D$ i jest zorientowana dodatnio, to:

$\int \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.$

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa $K$ jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

$\oint \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.$

Dowód

Niech $D$ będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc ${\bar {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x\in [a,b]\wedge \,y\in [g_{1}(x),g_{2}(x)]\}.$

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}{:}$

$C_{1}=\{(t,g_{1}(t))\colon t\in [a,b]\},$

$C_{2}=\{(b,t)\colon t\in [g_{1}(b),g_{2}(b)]\},$

$C_{3}=\{(-t,g_{2}(-t))\colon t\in [-b,-a]\},$

$C_{4}=\{(a,-t)\colon t\in [-g_{1}(a),-g_{2}(a)]\}.$

Wówczas $dx=dt$ dla $C_{1},$ $dx=-dt$ dla $C_{3}$ oraz $dx=0$ dla $C_{2},C_{4}.$

Tak więc dla składowej $P$ pola wektorowego otrzymujemy:

$\oint \limits _{K}Pdx=\int \limits _{C_{1}}Pdx+\int \limits _{C_{3}}Pdx=\int \limits _{a}^{b}P(t,g_{1}(t))dt+\int \limits _{-b}^{-a}P(-t,g_{2}(-t))(-dt)=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt,$

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik $-{\frac {\partial P}{\partial y}}{:}$

$\iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dy.$

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

$\iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt.$

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej $Q.$

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.