Twierdzenie Hahna-Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech

(a) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
(b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
dla wszystkich
dla wszystkich i
(c) będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni
(d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że
dla wszystkich

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy że

dla wszystkich oraz

dla wszelkich

Uwagi o dowodzie[edytuj | edytuj kod]

  • Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
  • Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
  • Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy że oraz dla
  • Załóżmy, że
(a) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, a jest półnormą
(b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
dla wszystkich
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz
dla wszystkich
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że
oraz
  • Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz to dla pewnego takiego, że Ponadto
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że
oraz

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha[edytuj | edytuj kod]

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej o niepustym wnętrzu. Jeżeli jest podprzestrzenią liniową przestrzeni oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że

to istnieje funkcjonał liniowy taki, że

oraz

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
  • Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
  • Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.