Twierdzenie Hahna-Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech

(a) X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych,
(b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
dla wszystkich x, yX,
dla wszystkich α ∈ [0, ∞) i xX,
(c) M będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X,
(d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że
dla wszystkich xM.

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy , że

dla wszystkich xM oraz

dla wszelkich xX.

Uwagi o dowodzie[edytuj]

Wnioski[edytuj]

  • Jeżeli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy , że oraz dla .
  • Załóżmy, że
(a) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a jest półnormą,
(b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
dla wszystkich .
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz
dla wszystkich .
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej podprzestrzenią liniową oraz , to istnieje taki, że
oraz .
  • Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli jest niezdegenrowaną przestrzenią unormowaną oraz , to dla pewnego takiego, że . Ponadto
.
  • Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz , to istnieje taki, że
oraz .

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha[edytuj]

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Kreina[edytuj]

Niech będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej o niepustym wnętrzu. Jeżeli jest podprzestrznią liniową przestrzeni oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że

,

to istnieje funkcjonał liniowy taki, że

oraz

.

Bibliografia[edytuj]

  1. William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems. [1]
  2. Mark Aronovich Naimark, Normed Rings. Wolters–Noordhoff, Groningen, 1970, s. 63
  3. Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.

Przypisy

  1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. Fundamenta Mathematicae 138 (1991)

Zobacz też[edytuj]