Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie

Niech

(a) $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych

(b) $p\colon X\to \mathbb {R}$ będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.

$p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ dla wszystkich $x,y\in X,$

$p(\alpha x)=\alpha p(x)$ dla wszystkich $\alpha \in [0,\infty )$ i $x\in X,$

(c) $M$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$

(d) $\varphi \colon M\to {\mathbb {R} }$ będzie takim odwzorowaniem liniowym, że

$\varphi (x)\leqslant p(x)$ dla wszystkich $x\in M.$

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy $\Phi \colon X\to \mathbb {R} ,$ że

$\Phi (x)=\varphi (x)$

dla wszystkich $x\in M$ oraz

$\Phi (x)\leqslant p(x)$

dla wszelkich $x\in X.$

Uwagi o dowodzie

• Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
• Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego, więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
• Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski

• Jeżeli $X$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał $p\colon X\to \mathbb {R}$ spełnia warunek (b), to dla każdego $x_{0}\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $f\colon X\to \mathbb {R} ,$ że $f(x_{0})=p(x_{0})$ oraz $f(x)\leqslant p(x)$ dla $x\in X.$
• Załóżmy, że

(a) $X$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $\mathbb {K}$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, a $p\colon X\longrightarrow [0,\infty )$ jest półnormą

(b) $M\subseteq X$ jest podprzestrzenią liniową, oraz $\varphi _{0}\colon M\to \mathbb {K}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$|\varphi _{0}(x)|\leqslant p(x)$ dla wszystkich $x\in M.$

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\varphi \colon X\to \mathbb {K}$ taki, że $\varphi |_{M}=\varphi _{0}$ oraz

$|\varphi (x)|\leqslant p(x)$ dla wszystkich $x\in X.$

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej podprzestrzenią liniową oraz $x^{*}\in M^{*},$ to istnieje $y^{*}\in X^{*}$ taki, że

$y^{*}|_{M}=x^{*}$ oraz $\|x^{*}\|=\|y^{*}\|.$

• Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli $X$ jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz $x\in X\setminus \{0\},$ to $\|x\|=x^{*}x$ dla pewnego $x^{*}\in X^{*}$ takiego, że $\|x^{*}\|=1.$ Ponadto

$\|x\|=\sup {\big \{}|x^{*}x|:x^{*}\in X^{*},\|x^{*}\|=1{\big \}}.$

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz $x\in X\setminus M,$ to istnieje $x^{*}\in X^{*}$ taki, że

$x^{*}x=1,\;x^{*}|_{M}\equiv 0$ oraz $\|x^{*}\|={\tfrac {1}{\mathrm {dist} (x,M)}}.$

• Twierdzenia o oddzielaniu.
• Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna

Niech $P$ będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o niepustym wnętrzu. Jeżeli $M$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$ oraz $\varphi _{0}\colon M\to \mathbb {R}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$\varphi _{0}(M\cap P)\subseteq [0,\infty ),$

to istnieje funkcjonał liniowy $\varphi \colon X\to \mathbb {R}$ taki, że

$\varphi |_{M}=\varphi _{0}$

oraz

$\varphi (P)\subseteq [0,\infty ).$

Zobacz też

• twierdzenie Krejna-Milmana
• twierdzenie o rozszerzaniu miary

Bibliografia

• William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
• Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
• Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.