Twierdzenie Hahna-Kołmogorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Hahna-Kołmogorowatwierdzenie teorii miary umożliwiające skonstruowanie miary przez uprzednie zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów (o nieujemnych wartościach rzeczywistych znikającej na zbiorze pustym) na względnie małej algebrze zbiorów, gdzie stosunkowo łatwo jest zapewnić σ-addytywność, a następnie rozszerzenie jej za pomocą tego twierdzenia na potencjalnie dużo większą σ-algebrę; jeżeli funkcja przeliczalnie addytywna jest σ-skończona, to istnieje dokładnie jedno takie rozszerzenie.

Twierdzenia tego jako pierwszy dowiódł Maurice Fréchet,[1] jednak nie korzystał on z twierdzenia Carathéodory'ego. Współczesny dowód przedstawili równocześnie Hans Hahn[2] i Andriej Kołmogorow.[3] Z tego powodu w literaturze twierdzenie to opatrywane bywa nazwiskiem Hahna (nie mylić z twierdzeniem Hahna o rozkładzie) lub Hahna-Kołmogorowa. Często nie przypisuje mu się jednak nazwiska i nazywa po prostu twierdzeniem o rozszerzeniu; w związku z tym zdarza się, że bywa ono łączone z twierdzeniem Carathéodory'ego.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będzie algebrą podzbiorów zbioru oraz niech będzie σ-addytywną funkcją zbiorów spełniającą warunek

Jeżeli oznacza najmniejszą σ-algebrę podzbiorów zbioru która zawiera to istnieje miara określona na o tej własności, że

dla każdego

Jeżeli istnieje taka rodzina przeliczalna że

oraz

dla każdego

to rozszerzenie funkcji do miary jest wyznaczone jednoznacznie.

Dowód[edytuj]

Dowód podzielony jest na dwie części. W pierwszej wykazuje się istnienie miary zewnętrznej skonstruowanej z przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia Carathéodory'ego, a następnie sprawdzenie, iż miara zewnętrzna zawężona do jest równa oraz, iż elementy są mierzalne. Druga część ustanawia jedyność rozszerzenia w przypadku, gdy jest σ-skończona.

Istnienie[edytuj]

Miara zewnętrzna i twierdzenie Carathéodory'ego

Funkcja gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru skonstruowana z jest postaci

i ma wszystkie własności miary zewnętrznej (monotoniczność, przeliczalną podaddytywność i znikanie na zbiorze pustym). Z twierdzenia Carathéodory'ego istnieje przestrzeń mierzalna zupełna gdzie

jest σ-algebrą zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory'ego (spełniających warunek Carathéodory'ego), a zawężeniem do

Poprawność rozszerzenia

Niżej zostanie wykazane, że dla dowolnego należącego do jest

jest przeliczalnym pokryciem zbioru

W szczególności dla rodziny zachodzi

Niech rodzina podzbiorów pokrywa zbiór Nierówność w drugą stronę uzyskuje się rozbijając w szereg za pomocą rodziny zbiorów rozłącznych związanych z korzystając z σ-addytywności skąd łatwo wyprowadzić żądaną tezę. Z każdą rodziną można związać rodzinę parami rozłącznych zbiorów taką, że dla dowolnej liczby naturalnej suma pierwszych zbiorów jest równa sumie pierwszych zbiorów Wspomnianą rodzinę otrzymuje się oznaczając Jak już wspomniano, suma wszystkich zawiera dlatego

gdzie nierówności wynikają z monotoniczności Ponieważ dotyczy to także pokrywajacej to

Zawieranie

Dowiedzenie, iż należy do oznacza wykazanie, iż

dla dowolnego zbioru W związku z tym należy przybliżyć za pomocą rodziny pokrywającej którą to właśnie, zamiast należy rozbić korzystając z addytywności Dokładniej, dla każdego istnieje pokrycie zbioru takie, że

gdzie równość wynika z zapisania jako i skorzystania z addytywności podczas gdy drugą nierówność uzyskuje się zauważając, że stanowi pokrycie podobnie ma się rzecz dla Z dowolności wynika, iż

Nierówność w drugą stronę wynika z podaddytywności

Podsumowanie

Wychodząc od skonstruowano miarę zewnętrzną która zawężona σ-algebry staje się miarą Wykazano, że algebra zawiera się w a miara dla wszystkich elementów pokrywa się z będącą jej początkiem przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów Aby zakończyć pierwszą część twierdzenia należy zauważyć, że jest najmniejszą σ-algebrą zawierajacą zaś co daje Zatem, nadużywając notacji poprzez dalsze oznaczanie za pomocą miary określonej na jej zawężenia do można powiedzieć, iż jest poszukiwaną przestrzenią mierzalną.

Należy wspomnieć, iż w ogólności choć jest zupełna (część twierdzenia Carathéodory'ego), to przestrzeń nie musi taka być: ważnym przykładem jest, gdy jest σ-algebrą borelowską na zaś to miara Lebesgue'a.

Jedyność[edytuj]

Niżej zakłada się, że jest σ-skończona.

Niech będzie miarą na będącą rozszerzeniem podczas gdy dalej będzie oznaczać miarę, także na skonstruowaną jak wyżej. Wykazaniu równości tych miar przysłuży się skorzystanie z σ-skończoności, co umożliwi pracę w przestrzeni o mierze skończonej. Niech będzie rodziną zbiorów miary skończonej o sumie równej Można założyć, że są parami rozłączne, gdyż można rozważać rodzinę rodzinę daną wzorem Miary dają tę samą wartość na zbiorze mierzalnym jeżeli zgadzają się na wszystkich przekrojach co w tym przypadku oznacza, iż

Wystarczy więc dowieść, że jeśli jest miary skończonej i zawiera się w to Aby porównać wspomniane miary należy rozważyć rodzinę stanowiącą pokrycie wówczas

skąd gdyż nierówność zachodzi dla dowolnego pokrycia zbioru zaś jest kresem dolnym wyrazów po prawej stronie. Ponadto Ponieważ należy do a jego rozbiciem jest to

a stąd

Konieczność założenia σ-skończoności
 Zobacz też: miara licząca.

Jeżeli nie jest σ-skończona, to rozszerzenie nie musi być wyznaczone jednoznacznie, nawet jeśli jest ono σ-skończone.

Niech oznacza zaś oznacza algebrę wszystkich skończonych sum wymiernych przedziałów domknięto-otwartych zawartych w Można dowieść, że jest algebrą, a każdy niepusty zbiór w jest nieskończony.

Niech będzie funkcją liczącą zbiorów określoną na Funkcja jest skończenie addytywna i σ-addytywna na Ponieważ każdy niepusty zbiór należący do jest nieskończony, jego miara

Niech będzie σ-algebrą generowaną przez Można sprawdzić, że jest zbiorem wszystkich podzbiorów i obie funkcje oraz są σ-skończonymi miarami określonymi na tej σ-algebrze będącymi rozszerzeniami

Przypisy

  1. Maurice Fréchet. Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait. „Bull. Soc. Math. France”, s. 248-265, 1915 (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen. „Annali Scuola Norm. Sup. Pisa”, s. 429-452, 1933 (niem.). 
  3. Andriej N. Kołmogorow: Grundbegriffe der Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag, 1933. (niem.)

Bibliografia[edytuj]