Twierdzenie Hartogsa (analiza zespolona)

Twierdzenie Hartogsa – w analizie zespolonej, twierdzenie mówiące o ciągłości funkcji wielu zmiennych zespolonych, która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych. Dokładniej, twierdzenie to mówi, że

każda funkcja

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ,

która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, jest ciągła.

Twierdzenie to udowodnione zostało przez Friedricha Hartogsa w 1906^[1]. Twierdzenie to nie ma odpowiednika w teorii rzeczywistych funkcji analitycznych funkcji wielu zmiennych. Istotnie, funkcja $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,$ dana wzorem

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq (0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, ale nie jest ciągła.

Przypisy

↑ F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62 (1906) 1–88.

Bibliografia

Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

[1] F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62 (1906) 1–88.

[1]