Twierdzenie Jegorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Jegorowatwierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną, który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitria Jegorowa.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych i zdefiniowany będzie zbiór

Przy dowolnych liczbach naturalnych i zachodzi inkluzja

Ciąg jest zbieżny prawie wszędzie do skąd dla każdego

Z powyższego wynika, że dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna (zależna od i ), że dla każdego spełniona jest nierówność

Zbiór

jest mierzalny oraz

Pierwsza z powyższych równości wynika z zastosowania prawa de Morgana (dla zbiorów). Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny do funkcji na zbiorze oraz, że

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982, ​ISBN 0-486-64062-0​, s. 36–37.