Twierdzenie Jegorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Jegorowatwierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną, który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitria Jegorowa.

Dowód[edytuj]

Niech będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na , zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej . Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych i zdefiniowany będzie zbiór

.

Przy dowolnych liczbach naturalnych i zachodzi inkluzja

.

Ciąg jest zbieżny prawie wszędzie do , skąd dla każdego

.

Z powyższego wynika, że dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna (zależna od i ), że dla każdego spełniona jest nierówność

.

Zbiór

jest mierzalny oraz

.

Pierwsza z powyższych równości wynika z zastosowania prawa de Morgana (dla zbiorów). Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny do funkcji na zbiorze oraz, że

.

Bibliografia[edytuj]

  • Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982., ISBN 0486640620, ss. 36-37.

Zobacz też[edytuj]