Twierdzenie Jegorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Jegorowatwierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną, który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitrija Jegorowa. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Jegorowa w następujący sposób: zbieżne ciągi funkcji są nieomal jednostajnie zbieżne (tj. prawie jednostajnie zbieżne; zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda)[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych i zdefiniowany będzie zbiór

Przy dowolnych liczbach naturalnych i zachodzi zawieranie

Ciąg jest zbieżny prawie wszędzie do skąd dla każdego

Z powyższego wynika, że dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna (zależna od i ), że dla każdego spełniona jest nierówność

Zbiór

jest mierzalny oraz

Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny do funkcji na zbiorze oraz że

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982, ISBN 0-486-64062-0, s. 36–37.
  • John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.