Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów - twierdzenie podające warunek wystarczający istnienia dla danego procesu stochastycznego jego tzw. ciągłej modyfikacji, to znaczy takiego procesu stochastycznego, którego wszystkie trajektorie są ciągłe oraz są prawie wszędzie równe odpowiednim trajektoriom wyjściowego procesu. Jednym z zastosowań twierdzenia Kołmogorowa o ciągłości procesów jest dowód istnienia procesu Wienera.

W niniejszym artykule wszystkie procesy stochastyczne określone są na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej . O zbiorze zakładamy, że dana jest wraz z nim pewna ustalona topologia (najczęściej rozważa się przypadek, gdy ze standardową topologią dziedziczoną z prostej.

Modyfikacje procesów[edytuj]

Procesy stochastyczne i nazywamy (wzajemnymi) modyfikacjami, gdy dla każdego :

.

Modyfikację procesu nazywamy ciągłą, gdy dla każdego trajektoria

jest ciągła.

Twierdzenie Kołmogorowa[edytuj]

Niech będzie procesem stochastycznym. Jeżeli dla każdej liczby istnieją stałe takie, że

dla wszystkich , to istnieje ciągła modyfikacja procesu .

Bibliografia[edytuj]

  • Bernt K. Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin, 2003, s. 14. ISBN 3-540-04758-1.