Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach

Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach – twierdzenie teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

Twierdzenie

Niech $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych.

Szereg $\sum _{n=0}^{\infty }X_{n}$ jest zbieżny prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $c\in \mathbb {R} ,c>0$ takie, że poniższe trzy szeregi są zbieżne:

1. $\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (|X_{n}|>c)$
2. $\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Var} (X_{n}^{(c)})$
3. $\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{n}^{(c)}),$

gdzie $X_{n}^{(c)}={\begin{cases}\ X_{n},&{\text{ gdy }}|X_{n}|\leqslant c\\\quad 0,&{\text{ gdy }}|X_{n}|>c\end{cases}}.$

Ponadto, jeżeli szereg $\sum _{n=0}^{\infty }X_{n}$ jest zbieżny prawie wszędzie, to szeregi 1.,2.,3. są zbieżne dla każdego $c>0.$ Zatem zbieżność szeregów 1.,2.,3. dla pewnego $c>0$ implikuje ich zbieżność dla wszystkich $c>0.$

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 151. ISBN 83-89716-01-1.