Twierdzenie Kreina-Milmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zbiór wypukły oznaczony kolorem niebieskim wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi zaznaczonymi kolorem czerwonym.

Twierdzenie Kreina-Milmanatwierdzenie analizy funkcjonalnej sfomułowane w 1940 roku przez ukraińskich matematyków Marka Kreina i Davida Milmana; przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermelo-Fraenkela[1]:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności może być przestrzenią unormowaną[2]. Pod nazwą „twierdzenie Kreina-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ma punkt ekstremalny.

Dowód[edytuj]

Zbiór nazywa się zbiorem podpierającym zbioru jeżeli jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym dla którego należenie do pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora hiperpłaszczyzna

jest podpierająca. Niech oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny w tej rodzinie. Przecięcie wszystkich zbiorów podpierających z należy do (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż jest jednopunktowy. Otóż jeśli zawiera dwa elementy oraz to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału (tzn. wybrać taki dla którego ), a następnie położyć gdzie

Ponieważ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności

Jeśli oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru to domknięcie zbioru jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt od zbioru za pomocą funkcjonału i rozważając płaszczyznę podpierającą znaleźć punkt ekstremalny zbioru nie należący do na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. John Bell, David Fremlin: A geometric form of the axiom of choice. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 77, 1973, s. 167-170. [1]
  2. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni liniowo-topologicznej wyposażona w *-słabą topologię jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.