Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lagrange'atwierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

|G| = |G:H| \cdot |H|,

gdzie |G:H| oznacza indeks podgrupy H\, w G\,, zaś |G|, |H| odpowiednio rząd grupy i podgrupy[1][2].

Dowód[edytuj]

Niech G będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych \{gH\colon g \in G\} grupy G względem podgrupy H stanowi rozbicie zbioru G na n = |G \colon H| (wprost z definicji) równolicznych ze zbiorem H zbiorów: g_1H, g_2H, \dots, g_nH.

Stąd

G = g_1H \cup g_2H \cup \dots \cup g_nH,

ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to

|G| = |g_1H| + |g_2H| + \dots + |g_nH|,

a skoro zaś wszystkie warstwy są równoliczne z H, jest więc

|G| = |H| + |H| + \dots + |H| = n |H|,

zatem

|G| = |G:H| \cdot |H|.

Wnioski i uwagi[edytuj]

Uogólnienia[edytuj]

Twierdzenie 
Jeżeli G jest skończona oraz K \leqslant H \leqslant G, to zachodzi
|G : H| \cdot |H : K| = |G : K|.
Dowód 
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że
|G| = |G : H| \cdot |H| = |G : K| \cdot |K|
oraz
|H| = |H : K| \cdot |K|,
skąd
|G : H| \cdot |H : K| \cdot |K| = |G : K| \cdot |K|.


Przypisy

  1. Twierdzenie 13.8. W: Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004, s. 265-266. ISBN 978-83-89020-35-2.
  2. Twierdzenie 4.8. W: Andrzej Białynicki-Birula: Algebra. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 232. ISBN 978-83-01-15817-0.