Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lagrange’atwierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

,

gdzie oznacza indeks podgrupy w , zaś odpowiednio rząd grupy i podgrupy[1][2].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange'a.

Dowód[edytuj]

Niech będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych grupy względem podgrupy stanowi rozbicie zbioru na (wprost z definicji) równolicznych ze zbiorem zbiorów: .

Stąd

,

ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to

,

a skoro zaś wszystkie warstwy są równoliczne z , jest więc

,

zatem

.

Wnioski i uwagi[edytuj]

  • Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu danej grupy prawdziwa jest równość , gdzie jest elementem neutralnym grupy, a oznacza jej rząd.
  • Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
  • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi. Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenie Sylowa.
  • Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Uogólnienia[edytuj]

Twierdzenie 
Jeżeli jest skończona oraz to zachodzi
Dowód 
Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że
oraz
skąd

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Twierdzenie 13.8. W: Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004, s. 265-266. ISBN 978-83-89020-35-2.
  2. Twierdzenie 4.8. W: Andrzej Białynicki-Birula: Algebra. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 232. ISBN 978-83-01-15817-0.