Twierdzenie Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lapunowa – twierdzenie teorii miar wektorowych głoszące, że obraz bezatomowej miary wektorowej o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej jest wypukły i zwarty. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w roku 1940 przez radzieckiego matematyka Aleksieja Lapunowa[1] doczekało się wielu nowych dowodów, z których najbardziej znany pochodzi z pracy Jorama Lindenstraussa z roku 1966[2]. Mimo prostoty samego twierdzenia każdy jego dowód jest nieefektywny (tzn. odwołuje się do pewnej wersji aksjomatu wyboru). W dowodzie Lindenstraussa wykorzystuje się twierdzenie Banacha-Alaoglu oraz twierdzenie Krejna-Milmana.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Lapunowa można sformułować korzystając jedynie z pojęć klasycznej teorii miary. Niżej znajduje się jedna z popularniejszych jego wersji przedstawiona w tym duchu:

Niech będzie przestrzenią mierzalną, to znaczy niech oznacza σ-ciało określone na zbiorze oraz niech będą skończonymi i bezatomowymi miarami na . Wówczas obraz funkcji danej wzorem
jest zwartym i wypukłym podzbiorem przestrzeni .

Przypisy

  1. Aleksjej Lapunow: Sur les fonctions-vecteurs completement additives, Bull. Acad. Sci. URSS, 1940, 4, s. 465–478
  2. Joram Lindenstrauss: A short proof of Liapounoff's convexity theorem. J. Math. Mech., 1966, 15, s. 971–972.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]