Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Inne znaczenia Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągu funkcji mierzalnych. Zobacz też: Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznejtwierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy że:

(a) (X,\mathcal{F},\mu) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) f_n:X\longrightarrow {\mathbb R} (dla n\in {\mathbb N}) jest funkcją mierzalną,
(c) 0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant f_3(x)\leqslant\ldots dla każdego x\in X,
(d) dla wszystkich x\in X istnieje granica \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x); niech funkcja f:X\longrightarrow {\mathbb R} będzie zdefiniowana przez
f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) dla x\in X.

Wówczas funkcja f jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji f_n jest całkowalna i zbiór \left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\} jest ograniczony z góry,

to funkcja f jest całkowalna oraz \int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie a nie dla każdego x.

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.[1] Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, f jest mierzalna. Ponieważ ciąg \left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}} jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Przypuśćmy, że h:X\longrightarrow {\mathbb R} jest całkowalną funkcją prostą taką, że 0\leqslant h\leqslant f. Ustalmy na jakiś czas liczbę \alpha\in (0,1). Dla liczby naturalnej n\in {\mathbb N} połóżmy

A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leqslant f_n(x)\}.

Oczywiście, A_n\in {\mathcal F} (jako że zarówno f_n jak i h są mierzalne) oraz A_n\subseteq A_{n+1} (używamy tu założenia (c)). Ponieważ \alpha\cdot h(x)<f(x) ilekroć f(x)>0, to używając założenia (d) widzimy, że X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n. Zauważmy, że

(i)  \alpha\cdot\int\limits_{A_n} h\ d\mu\leqslant \int\limits_{A_n} f_n\ d\mu\leqslant \int f_n\ d\mu.

Następnie, pamiętając że h jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)  \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} h\ d\mu=\int\limits_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu.

Przechodząc z n do granicy w (i) i używając (ii) otrzymujemy

\alpha\cdot\int h\ d\mu\leqslant C.

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby \alpha\in (0,1), to otrzymujemy iż \int h\ d\mu\leqslant C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej h spełniającej nierówności 0\leqslant h\leqslant f mamy że \int h\ d\mu\leqslant C, a więc funkcja f jest całkowalna oraz \int f\ d\mu\leqslant C. (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.) Ponieważ jednocześnie \int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu (jako że f_n\leqslant f), to mamy też

\int f\ d\mu= C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
  • Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach f_1,f_2,\ldots) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:
\sum_n \int f_n\;d\mu=\int\;\sum_n f_n\;d\mu

Przypisy

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23,29.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]