Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągu funkcji mierzalnych. Zobacz też: Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznejtwierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie[edytuj]

Załóżmy że:

(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) (dla ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla każdego ,
(d) dla wszystkich istnieje granica ; niech funkcja będzie zdefiniowana przez
dla .

Wówczas funkcja f jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji jest całkowalna i zbiór jest ograniczony z góry,

to funkcja f jest całkowalna oraz .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego .

Szkic dowodu[edytuj]

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, f jest mierzalna. Ponieważ ciąg jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech .

Przypuśćmy, że jest całkowalną funkcją prostą taką, że . Ustalmy na jakiś czas liczbę . Dla liczby naturalnej połóżmy

.

Oczywiście, (jako że zarówno , jak i są mierzalne) oraz (używamy tu założenia (c)). Ponieważ ilekroć , to używając założenia (d) widzimy, że . Zauważmy, że

(i)  .

Następnie, pamiętając że h jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)  .

Przechodząc z n do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

.

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby , to otrzymujemy iż .

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej h spełniającej nierówności , mamy że , a więc funkcja f jest całkowalna oraz . (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.) Ponieważ jednocześnie (jako że ), to mamy też

.

Zastosowania[edytuj]

  • Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
  • Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23,29.

Bibliografia[edytuj]