Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągu funkcji mierzalnych. Zobacz też: Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznejtwierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy że:

(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) (dla ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla każdego
(d) dla wszystkich istnieje granica niech funkcja będzie zdefiniowana przez
dla

Wówczas funkcja jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji jest całkowalna i zbiór jest ograniczony z góry,

to funkcja jest całkowalna oraz

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, jest mierzalna. Ponieważ ciąg jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech

Przypuśćmy, że jest całkowalną funkcją prostą taką, że Ustalmy na jakiś czas liczbę Dla liczby naturalnej połóżmy

Oczywiście, (jako że zarówno jak i są mierzalne) oraz (używamy tu założenia (c)). Ponieważ ilekroć to używając założenia (d) widzimy, że Zauważmy, że

(i)

Następnie, pamiętając że jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)

Przechodząc z do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby to otrzymujemy iż

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej spełniającej nierówności mamy że a więc funkcja jest całkowalna oraz (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.) Ponieważ jednocześnie (jako że ), to mamy też

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
  • Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 29.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]