Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie[edytuj]

Załóżmy że:

(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) (dla ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla pewnej funkcji całkowalnej mamy, że dla wszystkich i ,
(d) dla wszystkich istnieje granica ; niech funkcja będzie zdefiniowana przez
dla .

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

  i   .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego .

Szkic dowodu[edytuj]

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że f jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. oraz (dla wszystkich ), a stąd f jest całkowalna. Zauważmy, że (dla każdego x), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji .

Ponieważ , to otrzymujemy wówczas, że

Stąd już wnioskujemy że , a zatem . Ponieważ , to możemy też wywnioskować, że .

Przykład[edytuj]

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek wyposażony w miarą Lebesgue’a λ. Dla liczby naturalnej zdefinujmy funkcję przez

Wtedy dla , natomiast .

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23,35.

Bibliografia[edytuj]