Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza - twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza[edytuj]

Wersja I - analiza klasyczna[edytuj]

Niech będzie funkcją . załóżmy, że f jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową na całej swojej dziedzinie.

Dla określmy . Wówczas funkcja jest różniczkowalna oraz dla każdego spełniony jest wzór:

.

Ogólniej, zakładając że dla każdego y funkcja jest ciągła na przedziale gdzie funkcje są ciągle różniczkowalne, mamy:

Wersja II - teoria miary[edytuj]

Niech będzie otwartym podzbiorem , oraz będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że spełnia poniższe warunki:

(1) jest dla każdego funkcją całkowalną względem

(2) dla każdego pochodna istnieje -p.w.

(3) istnieje całkowalna funkcja dla której

Wtedy dla każdego

Dowód[edytuj]

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I[edytuj]

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu zachodzi zbieżność punktowa dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

Co na mocy dowolności ciągu oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz ciągle różniczkowalne.

Gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej . Zatem, biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

Przy czym z ciągłości f mamy .

Wersja II[edytuj]

Korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

Bibliografia[edytuj]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.

Zobacz też[edytuj]