Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza[edytuj | edytuj kod]

Wersja I – analiza klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją załóżmy, że jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową na całej swojej dziedzinie.

Dla określmy Wówczas funkcja jest różniczkowalna oraz dla każdego spełniony jest wzór:

Ogólniej, zakładając że dla każdego y funkcja jest ciągła na przedziale gdzie funkcje są ciągle różniczkowalne, mamy:

Wersja II – teoria miary[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie otwartym podzbiorem oraz będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że spełnia poniższe warunki:

(1) jest dla każdego funkcją całkowalną względem

(2) Dla każdego pochodna istnieje -p.w.

(3) Istnieje całkowalna funkcja dla której

Wtedy dla każdego

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I[edytuj | edytuj kod]

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu zachodzi zbieżność punktowa dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

Co na mocy dowolności ciągu oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz ciągle różniczkowalne.

gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

Przy czym z ciągłości f mamy

Wersja II[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]