Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Menelaos's theorem 1.png

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść[edytuj | edytuj kod]

Menelaos's theorem 2.png

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

skrótowo zapisywane zwykle jako

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Menelaos's theorem proof.png

Niech będzie przecięciem prostej równoległej do przechodzącej przez punkt z poprzeczną. Trójkąty i są podobne. Z twierdzenia Talesa:

czyli

Trójkąty i są podobne. Zatem jest:

czyli

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach i trójkąta dane są punkty i a na przedłużeniu boku punkt tak, że:
to punkty współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

(1)

oraz leżą na bokach trójkąta, zaś na prostej poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt że są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

Zatem dla dwóch różnych punktów leżących na prostej poza odcinkiem zachodzi

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Twierdzenie Menelaosa dla czworościanu[1][edytuj | edytuj kod]

Niech oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu leżące odpowiednio na odcinkach Wówczas zachodzi równość:

Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

to punkty leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.