Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Menelaos's theorem 1.png

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść[edytuj]

Menelaos's theorem 2.png

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

skrótowo zapisywane zwykle jako ,

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód[edytuj]

Menelaos's theorem proof.png

Niech będzie przecięciem prostej równoległej do przechodzącej przez punkt z poprzeczną. Trójkąty i są podobne. Z twierdzenia Talesa:

czyli

Trójkąty i są podobne. Zatem jest:

czyli

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

,

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne[edytuj]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach i trójkąta dane są punkty i , a na przedłużeniu boku punkt tak, że:
,
to punkty współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód[edytuj]

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

(1)

oraz leżą na bokach trójkąta, zaś na prostej poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt , że są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

.

Zatem dla dwóch różnych punktów leżących na prostej poza odcinkiem zachodzi

,

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Twierdzenie Menelaosa dla czworościanu [1][edytuj]

Niech A', B', C', D' oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu ABCD leżące odpowiednio na odcinkach AB, BC, CD, DA. Wówczas zachodzi równość:

Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

,

to punkty A', B', C', D' leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X.