Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$$\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$.

Stąd

$\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ$$\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ$.

Ponieważ

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}$${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}$,

więc $\triangle AMN$$\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$$\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}$$|MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$$\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$$\triangle BCZ$ są podobne, więc

$|LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}$$|LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Stąd $|LN|=|MN|$$|LN|=|MN|$. Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|$$|LN|=|LM|$, więc $\triangle LMN$$\triangle LMN$ jest równoboczny.

Zobacz też

• twierdzenie van Aubela
• punkt Fermata