Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód[edytuj]

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

{\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}

.

Stąd

\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ

.

Ponieważ

{\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}

,

więc $\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

|MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$ są podobne, więc

|LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}

Stąd $|LN|=|MN|$ . Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|$ , więc $\triangle LMN$ jest równoboczny.