Twierdzenie Napoleona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleonatwierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód[edytuj]

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta \triangle ABC są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|} = \frac{|CL|}{|BC|} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Stąd

\sphericalangle MAN = \sphericalangle CAZ.

Ponieważ

\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|},

więc \triangle AMN i \triangle ACZpodobne. Zatem

|MN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

Analogicznie pokazujemy, że \triangle BLN i  \triangle BCZ są podobne, więc

|LN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

Stąd |LN|=|MN|. Analogicznie pokazujemy, że |LN|=|LM|, więc \triangle LMN jest równoboczny.

Zobacz też[edytuj]